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1、全等三角形相关模型总结、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作G射线ACA、例题1、如图，在 ABC中，/ C=90 , AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm.2、如图，已知，/ 1 = /2, /3=/4,求证：AP平分/ BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形 ABCD中，BCAB, AD= CD, BD平分/ ABC,求证：/ A+ / C= 180(二)角平分线+垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长 ED交射线OB于F例 1、如图，在 ABC中，/ ABC= 3/C,辅助线：过点E作EF/射线OBAD是/ B
2、AC的平分线，BEX AD于F .，、1-求证：BE 1(AC AB).1例2、如图，在 ABC中，/ BAC的角平分线 AD交BC于点D,且AB= AD,彳CMLAD交_ t ,-1八AD的延长线于 M.求证：AM -(AB AC).（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线 ON上取点B,使OB=OA,从而使 OA8 OBC .A、例题1、如图，在 ABC 中，/ BAC=60 , / 0=40 , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC 交 AC于 Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .t2、如图，在 ABC中，AD是/ BAC的外角平分线， P
3、是AD上异于点A的任意一点，试比 较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由 .f)B、模型巩固1、在 ABC中，ABAC, AD是/ BAC的平分线，P是线段 AD上任意一点（不与 A重合） 求证：AB-AC PB- PC .2、如图， ABC中，AB=AC, /A=100 , / B的平分线交 求证：AD+BD=BC .AC于 D,3、如图， ABC中，BC= AC, /C=90 , / A的平分线交 求证：AC+ CD= AB .BC于 D,二、等腰直角三角形模型(一)旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程：(1)将4ABD逆时针旋转90 ,得 ACM 9 AABD
4、,从而推出 ADM为等腰直角三角形(2)辅助线作法：过点 C作MCLBC,使CM=BD,连结AM.操作过程：连结AD.(1)使 BF= AE (或 AF= CE),导出 BDF AADE.(2)使/ ED斗 / BAC= 180 ,导出 BDF 省 AADE.A、例题1、如图，在等腰直角 ABC中，ZBAC= 90 ,点M、N在斜边BC上滑动，且/ MAN = 45 试探究BM、MN、CN之间的数量关系.A、C三2、两个全等的含有 30 , 60角的直角三角板 ADE和ABC,按如图所示放置, 点在一条直线上，连接 BD,取BD的中点M,连接ME、MC.试判断 EMC的形状，并证明你的结论 .
5、B、模型巩固N分别在1、已知，如图所示， RtABC中，AB= AC, / BAC= 90 ,。为BC中点，若 M、 线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.(1)试判断 OMN的形状，并证明你的结论.(2)当M、N分别在线段 AC AB上移动时，四边形 AMON的面积如何变化？2、在正方形 ABCD中，BE= 3, EF= 5, DF= 4,求/ BAE+ / DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:A、例题应用1、如图，在等腰直
6、角 ABC中，AC= BC, Z ACB= 90 , P为三角形 ABC内部一点, 满足 PB= PC, AP= AC,求证：/ BCP= 15 .三、三垂直模型（弦图模型）由ZABE/XBCD导出ED=AE-CD由ZXABE空HCD中出 E =AB-CD由 ABE咨BCD导出 BC=BE+ED=AB+CDA、例题已知：如图所示，在4ABC 中，AB= AC, Z BAC= 90 ,D为AC中点，AFL BD于点E,交BC于F,连接DF .求证：/ ADB= / CDF .变式1、已知：如图所示，在 ABC中，AB= AC,AM = CNI, AF BM 于 E,交 BC于 F,连接NF .求
7、证：(1) /AMB=/CNF; (2) BM = AF+ FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点 P,求证：（1） PM=PN; （2） PB= PF+ AF .四、手拉手模型1、 ABE和 ACF均为等边三角形结论：(1) ABB AEC .(2) / BOE= / BAE= 60(3) OA平分/ EOF.(四点共圆证)拓展： ABC和4CDE均为等边三角形结论：(1) AD= BE;(2) / ACB= / AOB;(3) 4PCQ为等边三角形；(4) PQ/ AE;(5) AP= BQ;(6) CO平分/ AOE;(四点共圆证)(7) OA=
8、OB+ OC;(8) OE= OC+ OD .(7), (8)需构造等边三角形证明)例、如图，点M为锐角三角形 ABC内任意一点，连接 AM BM CM以AB为一边向外作等 边三角形4 ABE将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN.(1)求证： AM望ENB(2)若AM+BM+CM值最小，则称点 M为4ABC的费尔马点.若点 M为 ABC的费尔马点， 试求此时/ AMB / BMC / CMA勺度数；(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC的AR AC为一边向外作等边 ABE和等边 ACF连接CE BF,设交点为 M则点M 即为 ABC的费尔马点.
9、试说明这种作法的依据.B国1 C卫圄2 。2、 ABD和 ACE均为等腰直角三角形结论：（1） BE= CD; （2） BEX CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：（1） BD= CF; （2） BDXCF .变式1、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形，AS，BC交FD于T,求证：（1） T为 FD 中点；（2） SVABC SVADF变式2、四边形 ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS BC .36012 180 4、如图，以 ABC的边AB AC为边构造正多边形时，总有:五、半角模型一1 一条件：一，且+ =180,
10、 两边相等.2思路：1、旋转辅助线：延长 C*IJ E,使ED=BM连AE或延长CB至ij F,使FB=DN连AF将4AD潞点A顺时针旋转90得 ABF,注意：旋转需证 F、B M三点共线结论：(1) MN = BM+DN;(2) CVcmn=2AB;(3) AM、AN 分别平分/ BMN、/ MND .2、翻折（对称）辅助线：作APXMN交MN于点P将ADN AABM别沿AN AM翻折，但一定要证明 M P、N三点共线A、例题MN = BM + DN,例1、在正方形 ABCD中，若M、N分别在边BC CD上移动，且满足 求证：(1) / MAN = 45 ;(2) CVcmn =2 AB ;(3) AM、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM .DC的延长线上移动,变式：在正方形 ABCD中，已知/ MAN = 45 ,若M、N分别在边 CRAHXMN ,垂足为H,(1)试探究线段 MN、BM、DN之间的数量关系;(2)求证：AB=AHCD上的点,例2、在四边形 ABCD中，/ B+/D=180 , AB= AD,若E、F分别为边 BC1 _ _ 且满足 EF= BE+ DF,求证： EAF BAD .2BC、CD 上变式：在四边形 ABCD中，/ B=90 , / D=90 , AB=AD,若E、F分别为边1的点，且 EAF BAD ,求证：EF= BE+ DF .2
