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1、 5 二项式定理5 . 1 二项式定理歹预习导学 J桃醛自我，点点落实学习目标1 能用计数原理证明二项式定理.2 掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识链接1. 二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C0,c1,，cn，它只与各项的项数有关，而与 a, b的值无关，而项的系数是指 该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2. 二项式(a+ b)n与(b+ a)n展开式中第r + 1项是否相同？答 不同.(a+ b)n展开式中第r + 1项为cna
2、nrbr，而(b+ a)n展开式中第r + 1 项为 cnbn_rar.预习导引1. 二项式定理(a+ b)n= cnan土。冷_%+ cnan_rbr + C骷n这个公式就称为二项式定 理.2. 二项式定理的有关概念(1) 二项展开式在(a+ b)n = can+ cnari 1b + cjjan 2b2 + + Cnan rbr + Cbn 中，右边的多 项式叫作(a+ b)n的二项展开式.(2) 二项式展开式的通项在二项展开式中，Cnan_bl叫作二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展 开式的第r + 1项.Tr+1 = Cnan_ rbr (其中 ow r n, r N , n
3、N+)此公式也称为二项展开式的通项公式.(3) 二项式系数在展开式中，每一项cnan_rbr的系数称为二项式系数?课堂讲义 =乘直喑点，个个击破要点一二项式定理的正用、逆用1(1) 求(3x +寸x)4的展开式；化简(x 1)5+ 5(x 1)4+ 10(x 1)3+ 10(x 1)2 + 5(x 1).+ c3解 法一(30 + 士)4= C0(3&)4 + C”3&)3 + c4Vx)21 1(3.x)(.x)3+ Cf2 12 1(3x+ 1) 42x=81x + 108x+ 54+j + 孑1法二(3,x+ x)4=432=P(81x4+ 108x3 + 54x2 + 12x+ 1)
4、x=81x2+ 108x+ 54+12+1X X(2)原式=c5(x 1)5 + c5(x 1)4 + c5(x 1)3 + C3(x 1)2+ c5(x 1) + c5 1 = (x551)+ 15_ 1 = X5 1.规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较 复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及 该项的系数与二项式系数的区别逆用二项式定理可将多项式化简，对于这 类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幕指数的规律以及各项的系数化简：1+ 2&+ 4&+-+ 2ncn.解(1)(2 x+ 1严 x3(2x+ 1)61=x3C0(2x)
5、6 + C&2x)5+ C6(2x)4+ C3(2x)3+ C4(2x)2+ C5(2x) + C8 入=64x3 + 192x2 + 240x+ 160+ 60+ 爭 + 原式=1+ 2C+ 22cn+ 2ncn= (1+ 2)n = 3n.要点二二项展开式通项的应用1例2若.x+丄)n展开式中前三项系数成等差数列，求:(1) 展开式中含x的一次项；(2) 展开式中的所有有理项.1 1解(1)由已知可得 C0 + C22 = 2Cn,即 n2 9n + 8 = 0,解得 n = 8,或 n=1(舍去).13Tr+1= c8( x)8r ()r = c8 2r x4 3r,2扳令 4 |r =
6、 1,得 r = 4.所以x的一次项为T5= C82 4x= x.(2)令且0r8,则r= 0, 4, 8,所以含x的有理项分别为x4, T5= fx.1T9= 256x2规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等其通常解法就是根据通项公式确定 Tr+1中r的值或取值范围以满足题设的条件.10跟踪演练2已知二项式(1)求展开式中的第5项;(2)求展开式中的常数项.解(1)(貳+10的展开式的第5项为T5= C1o (x2)6乞 c1 (1)4 X12(2)设第r + 1项为常数项，则
7、Tr + 1=Clo(X2)10立)丄 C1o x20-|r (2)r(r二0, 1, 2,，10),令 20-2o 1 o 4545所以T9= c1。g)8二256,即第9项为常数项，其值为256.要点三二项式定理的应用 例3 (1)用二项式定理证明：34n+ 2 + 52n+1能被14整除;求9192除以100的余数.(1)证明34n+2+ 52n+1 = 92n+1 + 52n+1 = (9 + 5)- 52n+1 + 52n+1=(14-5)2n+1 + 52n+1=142n + 1 c2n+ 1 X 142n X 5+ C2n+ 1 X 142n- 1 X 52 + c2n+ 1 X
8、 14X 52n- c2n+1X 52n+1 + 52n+1=14(142n- c2n+ 1X 142n-1X 5+ C2n+ 1X 142n-2X 52+ c2n+1X 52n).上式是14的倍数，能被14整除，所以34n+ 2+ 52n+1能被14整除.解 法一 9192= (100-9)92 = 10092- C92 X 10091 X 9+ C92 X 10090 X 92- -C92x 100X 991 + 992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100 整除，于是求992除以100的余数.992= (10- 1)92=1092- c92X 1091 + C92X 10
9、90 + C90X 102- c92x 10+ (-1)92=1092- C92 x 1091 + C92X 1090 + C90x 102- 920+ 1=(1092- C92X 1091 + C2X 1090 +c9x 102- 1 000) + 81,被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二 由 9192 = (90 + 1严=C02 x 9092 + C92 x 9091 + + 住2902 + C92x 90+ 1,可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C92x 90+ 1= 8 281 = 8 200+ 81,故 9192 除以 10
10、0 的余数为 81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.跟踪演练3求证：5151 - 1能被7整除.证明v 5151- 1 = (49 + 2)51 - 1=C014951 + C514950 x 2 + + C50 x 49 x 250 + C51 x 251 - 1.易知除(C51x 251 - 1 )以外各项都能被7整除.又 251 - 1 = (23)17- 1 = (7 + 1)17- 1=cx 717+ cbx 716+-+ C17x 7+ C17- 1=7(C07716+ C17715+ + c1
11、7),显然能被7整除，所以(5151- 1)能被7整除.戸当堂检测 J当堂训练，体验脏功 1. 若(1 + 2)4= a+ b 2(a，b为有理数)，则a+ b等于()A. 33 B. 29 C. 23 D. 19答案 B解析 v (1+ ,2)4= 1+ 4 2+ 12+ 8 2 + 4= 17+ 12 2= a+ b . 2，又 V a, b 为有理数，：a= 17, b= 12.二 a+ b= 29.2 .在(1 x)5(1 x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A. 5 B. 5 C. 10 D. 10答案 D解析(1 x)5 中X3的系数一Cs=10, (1 x)6中X3 的系数为
12、一C6 (1)3 =20,故(1 x)5(1 x)6的展开式中x3的系数为10.3 .求(2x 2I2)5的展开式.3 u(4x3 3) 51解 先化简再求展开式，得(2x云)5 =32严=32xT0c5(4x3)5 + c1. 注意区分项的二项式系数与系数的概念.2. 要牢记cnanrbr是展开式的第r + 1项，不要误认为是第r项.3. 求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其 为特定值.戸分层训练 _解爺蚪偏，训练檢测一、基础达标 (x+ 2)6的展开式中x3的系数是()A . 20B . 40C. 80D . 160答案 D(4x3)4( 3)+ c5(4x3)
13、3( 3)2 +C5(4x3)2( 3)3 + C4(4x3)( 3)4+ C5( 3)532x5 120x2+180135 405243x 了+ 87莎课堂小结解析 法一 设含X3的项为第r + 1项，则Tr +仁C6x6-r2r，令6-r= 3,得r=3,故展开式中x3的系数为 C 23= 160.法二 根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据条件满足条件x3的项按3与3分配即可，则展开 式中x3的系数为C6x 23= 160.22. (2013江西理)(x2 V)5展开式中的常数项为()xA . 80B . 80C. 40D . 40答案 C
14、2解析 展开式的通项公式为 Tr+1 = c5(x2)5 - r(x3)r = C5x10-5r( 2).由 10 5r =0,得 r= 2,所以常数项为 T2+1= C2( 2)2= 40.3. (x 2y)10的展开式中x6y4项的系数是()A . 840B . 840C. 210D . 210答案 A解析 在通项公式Tr+1= C10( , 2y)rx10-r中，令r = 4,即得(x , 2y)10的展开式中x6y4项的系数为C10 ( 2)4 = 840.4.(2013辽宁理)使得(3x +1x：x)n(n N*)的展开式中含有常数项的最小的A . 4B . 5C. 6D . 7答案 B15r5r解析 展开式的通项公式为Tr+1= cn(3x)n-r (xjx)r = Cn3n-rxn5.由n 空0得n= 5r，所以当r = 2时，n有最小值5.5. 求(3b + 2a)6的展开式中的第3项的系数为,二项式系数为.答案 4 860 156. (2013四川理)二项式(x + y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是(用数字作答）.答案
