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1、倍角、半角、和差化积公式一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。三. 教学重点、难点重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。难点：能
2、够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。四. 知识分析（一）两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式推导方法1：向量法把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点 Pl (，)，P2 (，)，由于余弦函数是周期为 2的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。图1设向量则。另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 于是，对于任意的，都有上述式子成立。推导方法2：三角函数线法设、都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为 Pl ，POP1 ，则Pox。过点P作 MNx 轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线来表示O
3、M。授课：XXX图2过点P作PAOP1于A，过点A作ABx轴于B，过P作PCAB于C，则OA表示，AP表示，并且PACP1Ox，于是即 要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。 2. 两角和的余弦公式比较与，并且注意到与之间的联系：则由两角差的余弦公式得：即 3. 对公式的理解和记忆（1）上述公式中的都是任意角。 （2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。 （3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。（二）两角和与差的正弦1. 公式的导出即 2. 公式的理解（1）一样，对任意角均成
4、立，是恒等式。（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。如 （3）明确公式的区别与联系：授课：XXX两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的“和”或“差”，右边也为两项之“和”或“差”，而公式中，左边为角的“和”或“差”，右边则为两项之“差”或“和”，另外公式中右边两项均为角的异名函数之积，牢记公式，才能正确使用这些公式。3. 函数的最值（ a 、b为常数，为任意角）将函数化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下： 也可如下化简： 即注：此处内容与教材P143的例
5、4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。（三）两角和与差的正切1. 正切公式的推导过程当时，将公式的两边分别相除，有 当coscos0时，将上式的分子分母分别除以coscos，得： 由于， 在中以代，可得授课：XXX 2. 公式的理解 （1）公式成立的条件 公式在，时成立，否则是不成立的。 当tan、tan或tan()的值不存在时，不能使用公式，处理有关问题时，应改用诱导公式或其他方法来解。 （2）公式的变形形式 由得 由得 ； 。（四）倍角公式 1. 本节中公式的证明过程较为简单，只要将中的换作即可得到的形式，再结合平方关系可推得。 2. 二倍角的正弦、余弦、正切
6、公式及变形 另外，。 公式还可变形为升幂公式： ， 降幂公式： 以上公式中除且外，其余公式中角为任意角。（五）半角的正弦、余弦和正切授课：XXX 1. 应用三个半角公式时，要特别注意根号前的符号，选取依据是所在的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cos的符号，确定，、的符号。 如为第二象限角，且，则为第一或第三象限角，可正可负，可正可负，为正。 ， 2. 公式，共有三个，即，显然公式由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于后两个公式关键是明确公式的推导，如下： ，同理可推得，后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果。 3. 升幂公式： 降幂公式，等同于倍角公式的升
7、幂与降幂公式。 升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点及结构特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时角增大。【典型例题】 例1. ，求的值。 解析：由 授课：XXX 又由 得 由余弦的和角公式，得 点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的符号。 例2. 已知RtACB中，两垂直边ACb，BCa，斜边ABc，周长为定值l，求斜边c的最小值。 解析：RtACB中C90，ACb，BCa，ABc 则acsinA，bccosA 即当 时，斜边c最小，最小值为。 点评：（1）应用三角函数解决实际应用
8、题的最值问题，必须先写出函数关系式（三角形式），再求最值。 （2）型如的函数均可化为（为确定数值），或化为，再利用三角函数的值域可求最值。例3. 计算：（1） 解析：（1）解法1： 授课：XXX 解法2： （2）公式，可变形为 点评：（1）题（1）中的解法1是正用公式，从而将非特殊角75的正切化为两特殊角45与30的正切，使问题得解；而题（1）中的解法2通过变换凑出两角和的正切公式形式，逆用公式使问题得到解决。题（2）是逆用公式求解的。 （2）公式可正用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一定距离，可先变形、整理，再应用公式。 （3）对于型如：（或）的式子，常常分子分母同时除
9、以为（或）的形式，再化为（或）的形式，再用公式即可。 例4. 设是方程的两实根。 求之值。 解析：由题意知： 点评：（1）由tan()如何求待求式的值是难点，而将待求式转化为的待求式是关键，如何转化呢？关键之关键是将原待求式看成分母为“1”的分式，而分母“1”又可表示为授课：XXX （2）由，可求下列代数式的值： 型如，可化为； 型如，可化为； 型如， 可化为 例5. 解答下列各题： （1）求的值； （2）已知，求的值； （3）求的值。 解析：（1） ； （2） 故 （3） 点评：（1）对于第（1）题要注意将变换成，再配以系数2，即可适合二倍角的正弦公式的形式，利用二倍角的正弦公式求值； 对于
10、第（2）题首先利用同角三角函数的关系求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出的值。 对于第（3）题配上系数2，即为二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。 （2）二倍角公式可正用、逆用、变形用，牢记公式及其特点才能正确灵活地使用二倍角公式； （3）二倍角正弦公式连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系，类似地，可以证明恒等式： 授课：XXX 如求值sin10sin50sin70，可以先化为cos20cos40cos80 再化为 同学们可以试着求下面的式子的值： 例6. 已知，求的值。 解析1： 解析2： 平方得 sin、cos可看成方程的两根， 解方程，可得 授课
11、：XXX 点评：已知的一个三角函数值及所在象限，可求2的正弦、余弦、正切，而本题已知三角函数式，可先求出的值，再用二倍角公式，但要判断出，另外本题解法较多，认真研究可以提高解题的灵活变形能力。 例7. 已知的值。 解析： 点评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的，不一定是单角的形式，根号前面的符号，由所在象限来确定，如果没有给出限定符号的条件，根号前应保留正负两个符号。 例8. 已知的值。 解析：解法1： 利用比例性质：授课：XXX 解法2： 又， 解法3：原式 又， 点评：（1）给值求值问题一般有两个思路：一是先化简（变形）三角式，再代入求值（法2，法3）；二是由已知变形，获得所求
12、解的式子（法1），相比而言法2为通法，法1技巧太高不易掌握，法3太麻烦，但它与题型“由的值，求的值”有异曲同工之妙。 （2）法2中用到的化简技巧：，在化简三角函数式中含有“”时常用到。 （3）法1中的公式在化简三角式中也经常使用。【模拟试题】 1. 下列四个命题中的假命题是（ ） A. 存在这样的和的值使得 授课：XXX B. 不存在无穷多个和的值使得 C. 对于任意的和有 D. 不存在这样和的值使得 2. 化简的结果是（ ） A. sin2x B. cos2x C. cos2x D. sin2x 3. 在ABC中，若，则ABC一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 化简的结果为
