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1、勾股定理令狐采学、知识归纳1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b,斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 22勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边a = c2-b2在 AABC 中, ZC = 90，贝c =、】a2 + b2 , b = 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系、题型 题型一：直接考查勾
2、股定理例1.在 AABC 中，ZC = 90。已知ac = 6， BC = 8 求AB的长 已知ab = 17， AC = 15，求BC的长解：令狐采学创作题型二：应用勾股定理建立方程例2.在Aabc中,ZACB = 90， AB = 5 cm BC = 3 cm，CD 丄 ABCD已知直角三角形的两直角边长之比为 3: 4，斜边长为15，则这 个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角 形的面积为例 3 .如图 aabc 中，ZC = 90， Z1 = Z2， CD = 1.5， BD = 2.5，求 AC 的长C例4.如图RtAABc , ZC =
3、 90 AC = 3, BC = 4分别以各边为直 径作半圆，求阴影部分面积A zE B题型三：实际问题中应用勾股定理例5如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm， 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m 三、勾股定理的逆定理知识归纳1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2 + b2 = c2,那么这 个三角形是直角三角形，其中c为斜边。2. 常用的平方数112=, 122 =, 132=, 142=,152=, 162 =, 172=, 182=,192= 202= 252=注意如果三角形三边长a , b，c满足a2 +
4、b2 = c2，那么这个三角形 是直角三角形,其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三 角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小令狐采学创作边的平方和a2 + b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a， b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 + b2 2, n 为正整数）；2n +1,2n2 + 2n,2n2 + 2n +1（n为正整数）m2 一 n2,2 mn, m2 + n2 （ m n, m ， n为正整数）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,134 判断直角三角形：
5、1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。（3）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 注：用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步 骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）若c2 = a2 + b2，贝卩ABC是以/C为直角的三角形；若a2 + b2Vc2，贝V此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2 + b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）5.直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于
6、 30，那么它 所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a , b，c，判定AABC是否为RtA a m，b = 2，c = 2.5a = 4，b =1，c = 2解：例7.三边长为a， b， c满足a + b = 10， ab = 18， c = 8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8已知 AABC 中，AB = 13 cm， BC = 10 cm， BC 边上的中线 AD = 12 cm 5 求证：AB
7、= AC证明：练习1已知一个Rt的两边长分别为3和4,贝悌三边长是令狐采学创作2如图，圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,那么这个圆锥的 母线 L 是3 直角三角形两直角边长分别为5和12,则斜边上的高为4. 已知等腰三角形的腰长是6cm,底边长是8cm,那么这个等 腰三角形的面积是.5. 如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 8,正方形 A 的面积是 10, B 的面积是 11,C 的面积是 13,则 D 的面积之为.C j一棵髙t树梢飞到另一棵12BD则它至少6 如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的 两个村庄，CD= 6 km，且
8、D位于C的北偏东30方向上， 贝寸 AB =km.t.A C4（第2题 第6题13题第9题8（第如题图,直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的 ABCD 的面积9. 如图是一个长方体长 4、宽 3、高 12，则图中阴影部分的三 角形的周长为。10某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角B1A1为 30 , ZBCA = 90，台i p第令狐采学创作令狐采学创作阶的高 BC 为 2 米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶.（结果精确到0.1m，取Q =
9、 1.414，芒=1.732 ）11 有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm。（结果用带n和根号的式子表示）12如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去，已知正方形ABCD的面积S为1,按上述1方法所作的正方形的面积依次为S , s，S（口为正整23n数），那么第8个正方形的面积s =8 、看准了再选13. “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P
10、所表 示的数是,：5”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数 学思想方法叫（ ）A.代入法 E.换元法 C.数CB令第狐17采题学创作令狐采学创作A a = 7, b = 24,c = 25 B- a = 1.5,b = 2, c = 2.5 C- a = b = 2, c = 534D- a = 15, b = &c = 1715两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖8cm, 另一只朝正南方挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹 鼠相距（ ）A. 50cmB. 100cmC. 140cmD.80cm16如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容 下的最长的木
11、棒为（ ）A. 20cm B. 50cm C. 40cmD. 45cm17若等边厶ABC的边长为4cm,那么 ABC的面积为（）A. 2、3 cm2 B - 4 j3 cm2C - 63 cm2 D - 8cm218如图（2）,在直角坐标系中， OBC的顶点O （0, 0）, B（-6, 0）,且/OCB=90,OC二B则点 C 关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）A. （3, 3） B. （-3, 3） C. （-3, -3） D. （3芒,3湮）19 如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则a的值是（）A.込 + 1B.-器 + 1 C. -1 D.透20直角三角形的周长为24，斜边长为10,
12、则其面积为（）A. 96B. 49C. 24D. 4821老李家有一块草坪如图所示已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米，且AB丄BC,这块草坪的面积是（图A. 24米2.B.36米2.C.4822在一块平地上，李大爷家令狐采学创作 一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面 6 米处折断倒 下，量得倒下部分的长是10 米出门在外的李大爷担心自己 的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到李大爷的房子 吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）A. 定不会 E.可能会 C. 一定会D.以上答案 都不对23如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点A落在A1处，已知O
13、A二誇，AB=1,则点A1的坐标是（）。A、（週上）B、（邑,）C、（3,3）D、（1，邑）2 2 2 2 2 2 2三、想好了再规范的写AB =3.00 cm24、已知：在四边形 ABCD 中， CBAAC=B45.10=18cc3mmcm, BC=5cm，nAD = 2.03 cmCD= 2 3 ,AD=2cm,AC丄ABDC = 3-52 削求四边形ABCD的面积25、某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小 时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里. 它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知R道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？
