排列组合概念

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1、数学概念、方法、题型、易误点技巧总结一一排列、组合和二项式定理1.排列数4T中 5E 幽亦、组合数中心幽心顷司好eN （1）排列数公式A1 = Yl（.Yl - IYh -m + 1）=（m Yl） M室=荒!=范（荒1）（程幻N . 1；如（1）1! +2! +3!+n!（松牝改）的个位数字为足4W的工=（2）组合数公式（答：8）亍荒（再一1）（程一烈+ 1）M 俄 zra .伽1）2 -1（答：3）； （2）满；规定侦=1，5如已知瞄知 ，求n排列数、组合数的性质：:f_Jf-l；1m的值（答：m=n=2）gf撰+3yu；*+1）项：3+1）3 3+虬2.解排列组合问题的依据是：分类相加（

2、每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独 立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一 步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合。比如：（1） 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各 一台，则不同的取法共有种（答：70）；（3）从集合（技同和L45,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能 确定不同点的个数是（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：1

3、2）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年 卡不同的分配方式有种（答：9）；（8是集合M = b到集合心T。的映射，且川+顶0）*（/，则 不同的映射共有个（答：7）（9）满足123,4）的集合a、b、C共有 组（答：尹）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑

4、有限制条件的元素的要求，再 考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。比如 某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及 楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有 种（答：300）； 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上 都能取0.这样设计出来的密码共有 种（答：100）； 用0，1，2, 3, 4, 5这六个数字，可以组成无重复数字

5、的四位偶数 个（答：156）； 某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、 二节，则不同排课方案种数为 （答：6）； 四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有种（答：84； 96）； 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个 杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法 种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）。如在平面直角坐标系中，由六个点（0,0），（1,

6、2），（2,4），（6,3），（-1,-2），（ 一 2, -1）可以确定三角形的个数为 （答：15）。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其 余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。比如： 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为（答：2880）； 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰有3枪连在一起的情况的不同种数为（答:20） 把一同排6张座位编号为1，2, 3, 4, 5, 6的电影票全部分给4个人，每人至少分 1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （答：144）（4）不

7、相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采 用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好 的元素之间）。比如： 3人坐在一排八个座位上，若每人左右两边都有空位，则不同的坐法种数有种（答：24） 某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果 将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 （答：42）。（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x,这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生 的排法数为y,则x,y的大小关系为 （答：相等）；（6）多元问题分类法。比如： 某化工厂实验生产中需依

8、次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原 料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共 有 种（答：15 ）； 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同 给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有一种（答：36） 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有 种（答：90）；（7）有序问题组合法。比如： 书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法（答：20）； 百米决赛有6名运动A、

9、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有 种（答：360）； 学号为1, 2, 3, 4的四名学生的考试成绩W丸90,91,92,9汛=123,4）且满足电5撰恐 f，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有 种（答：15）； 设集合H =, 对任意盂5有了53）,则映射广AS的个数是（答：耳密）； 如果一个三位正整数形如“带拓，满足气 g且玛,则称这样的三位数为 凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （答：240）； 离心率等于q （其中比点丸担心9且PW N ）的不同形状的的双曲线的 个数为 （答：26）。（8）选取问题先选后

10、排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试， 直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是 （答：576）。（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有 种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。比如：10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答: 36； 15）；某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽 出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题

11、：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每 所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有 种（答：37440）；5. 项式定理：*&H，其中组合数M 叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项=化技， 夜称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系 数就是二项式系数。如在即顷”的展开式中，第r + l项的二项式系数为；，第r + l项的系数为C0F ；而的展开式中的

12、系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？比如：（涝X W 的展开式中常数项是（答：14）；（1+疗+（1+打+. + （1 +计的展开式中的/的系数为 （答：330）； 数11皿一1的末尾连续出现零的个数是 （答：3）； （ + W展开后所得的工的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7）； 若1-6工+ 15了-洒+1泌_源+/（工顼且工蒙1）的值能被5整除，则勺可取值的个数有 个（答：5）； 若节罚，且x+y=l,二项式3 +刃按工降幕展开后，其第二项不大于第三项，则工的取值

13、范围是（答:）； 函数川）=（1一对+（1 +日也工严的最大值是 （答：1024）。6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即M = M ;压+1苏+1r f（2） 增减性与最大值：当2时，二项式系数C”的值逐渐增大，当 2时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第+1项）的二项式系 m+ 1+ 1数。；取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第2和2 +1项）的二项式系数IM-1M+1M - M相等并同时取最大值。比如：在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 （答：一426）；在顷 的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则依=（答

14、：17,18或19）。（3）项式系数的和：*71；& 其 M MnM-1 = 2 。比如：f ffll + 2Cj + 22+ + 2HC； = 2187 nC+- + C； = /小1 化简毫+2乌 + 3+. + （”+10（答（*+2）.2Z）7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和M、“奇数（偶次）- /（-I）； 了 +项”系数和为2，以及“偶数（奇次）项”系数和为2。比如:，则（1-由严=知+灼f折+响4严 +（知 +的奶）=_ （答：2004）；设（1 +工+打*灼工+%/+ +%，则已知（1-堀=而+叩+以+. + ，则毒+ |的|+|知| +属|等于_（答建）i3|-| + +山9（答则（知+的）+ （知+地）+3M +1于）。8、系数最大项的求法：设第广项的系数&最大，由不等式组孔孔+i确定广。（扁严如求 2的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系1 e E数绝对值最大的项为T5x，系数最大的项为）9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、 应用其首尾几项进行放缩证明不等式。比如：（1）（0.998）5精确到 0.001 近似值为 （答：0.990）；（2