拉普拉斯变换

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1、第 11 章 动态电路的运算分析法 315学习要点 31511.1 拉普拉斯变换的定义及性质 31511.1.1 拉氏变换的定义 31511.1.2 拉氏变换的条件 31611.1.3 拉氏变换的基本性质 31611.2拉氏反变换分解定理 32011.3 线性动态电路的复频域模型 324KL 的运算形式 324VCR 的运算形式 32411.4 用复频域分析法计算线性电路 32611.5 网络函数及其零点、极点 33611.6 零、极点与冲激响应的关系 33811.7 零、极点与频率响应的关系 339习 题 十一 343第11章 动态电路的运算分析法学习要点(1) 拉普拉斯变换定义及性质。(2

2、) 拉普拉斯反变换-部分分式展开方法。(3) 动态电路的复频域模型-运算电路。(4) 动态电路的拉普拉斯变换法一运算法。(5) 用运算法分析动态电路。本章的核心是如何用数学工具“拉普拉斯变换”解决电路的动态分析问题。因此，学习本章首先应掌 握“拉普拉斯变换”的定义、性质和反变换问题，在此基础上掌握如何用“拉普拉斯变换”解决动态电路 分析的问题，即运算法的有关问题。第5章用时域分析法分析一阶电路比较方便，但对于二阶和高阶或交流的动态电路，列写和求解方程 很繁琐(例题5-12)。本章复频域分析法(运算法)对分析复杂的电路将更为有效。111拉普拉斯变换的定义及性质拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一

3、种有效而重要的工具，它在其他技术领域中也同样得到了广 泛的应用，尤其是在各种线性定常系统中，拉氏变换方法作为基本的数学工具受到了人们的普遍重视。为了说明拉氏变换在电路理论中的地位，我们首先简单的回顾以下，在一阶、二阶电路里，我们用微 分方程求解动态电路时，虽然能较满意的结合电路中的物理过程分析一些简单的信号输入的时域响应特 性，而且对于一阶、二阶电路而言，微分方程也不难求解。但是，若输入信号较为复杂，或是高阶电路， 微分方程的求解就会很麻烦，甚至在有些情况下，人工解答已很难实现。在分析正弦稳态电路时，我们采 用的是相量法，将求解微分方程的过程，变换为相量的代数方程，从而简化了数学运算，从本质上

4、讲，相 量分析也是一种数学变换，它只适用于正弦稳态电路的分析。利用傅立叶分析方法，能够有效地揭示出一 些较为复杂的非正弦周期信号的频率特性，而且傅立叶变换作为一种数学变换方法也可以应用于线性电路 的分析。然而傅立叶变换方法有着明显的局限性：其一，因为周期信号的傅立叶级数是无穷级数，因此对 于周期信号输入的电路，利用傅立叶级数，不易求得封闭形式的解，只能取有限项的近似解；其二，工程 上很多有用的信号，不满足绝对可积的条件，傅立叶变换就不能直接应用。特别是对于具有初始条件的电 路，利用傅立叶变换法求全响应是比较麻烦的。由以上事实可以看出，探索分析任意信号输入时线性电路 的响应问题，是非常必要的。拉

5、氏变换方法是解决此类问题的工具之一。拉氏变换的定义一个定义在区间上的函数f(t)的拉氏变换记作Lf(t)二 F(s)二f(t)e$dt( 11-1)0_上式是单边拉普拉斯变换的数学定义。F (s)称为f (t)的拉氏变换或象函数，f (t)是F(s)的原函数。如果把上式中的积分下限取-：，则称为双边拉氏变换，本书只讨论单边拉氏变换。应当指出，为了顾及函数f(t)在t =0处可能存在冲激的情况，上式中的积分下限取0_。在电路原理中，把式(11-1)称为拉氏变换的0 一系统，把积分下限取为0 的拉氏变换，称为0 .系统。在0 系统中，函数的初始值为f(0J ,拉普拉斯(Pierre-Simon L

6、aplace,1749 1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士在0 _系统中，函数的初始值为f(OJ。若f(0.) =f(0_)，两者并无区别，若 f(0.)工f (0，对电路的求解，两者会得到不同的结果。如果F(s)已知，要求出与之对应的原函数，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为J1c.j：st(11-2)LF(s) =f(t)=? j cj：F(s)estds式(11-1)与(11-2)称为拉普拉斯变换对。理论上可以证明，单值函数的拉式变换具有唯一性。拉氏变换的条件拉氏变换是一个积分变换，此变换要想存在，f(t)必须满足以下三个条件：(1) t 0时

7、f (t) = 0。一般假设电路的过渡过程从t二0时刻开始，因此这个条件总能满足。(2) f (t)和它的一阶导数在t_0时是分段连续的。(3) f (t)是指数阶的，即：lim f(t)e=t =0, 0。其中e称为收敛因子。在拉氏变换时，将tJpcf (t)乘以收敛因子，只要= Res足够大，总能使f(t)较快的衰减。指数函数的象函数：f(t)=eF(s)=oOe-(s -a)tdt1_(s_a)te(s-a)1s-a大多数函数均满足以上条件，其拉氏变换积分是收敛的。例11-1求以下函数的象函数 单位阶跃函数 单位冲激函数指数函数解单位阶跃函数的象函数:f(t)K(t)0tOQt1tF(s

8、) = J。名(t)edt = J。edt=e0100s0s单位冲激函数的象函数:f(t)=6(t)3二t0 +st0F (s) = j0 6(t)e dt =花(t)e dt = e0 =1at拉氏变换的基本性质1. 线性性质设仏和f2 (t)是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为Fjs)和F2(s)，A和A2是两个任意的实常数，则有：LA f1(t) A2f2(t)HA1F1(s) A2F2(s)证明 LAfM2(丹J：Af1t1 弋Hf 2t 2efqt二 0 Af1(t)e$dt0 Aedt= AF1(s) + A2F2(s)例11-2设下面两个函数的定义域为0,二)，求其象函数。

9、f(t)二 sin(，t) f(t)二 sinh( -t)1 Lsin(，t)=L 2j(e-e-jt.)二2j (s - j t+ co1fJh111却“旷吟宀e )=2(s-s22. 时域微分性质设f(t)的象函数为F(s)，其导数二匹则Lf (t)HsF(s) - f (0 dt证明 Lf)* o f t(efdt利用分部积分，设 u = e*t, dv = f (t)dt, du = -se_stdt , v = f (t),由于 udv = uv - vdu，所以stst 旳田stf0 f (t)edt= f (t)e 0 J。f (t)(se)dt二-f(OJ s ,f (t)ed

10、t=sF(s)- f(0_)例11-3利用微分的性质求下列函数的象函数 f(t)=cos( t) f (tn (t)解 由于 f(t)二cos( t) =1dsin(t)蛍dt所以F(s)Ldsln(叭dt1s，s-L_s|n(0)“L由于f(t)i(t)=d；(t)dt1所以 F (s) = s - ；(0 _) = 1s3. 时域积分性质设f(t)的象函数为F(s)，则L t f ( )d 二血 、0_s证明 设 g(t)二.；f( )d ，则 G(s) =Lg(t)由于 g(0_) =0，且 f(t)，所以 F(s)二 sG(s)_g(0_) = sG(s)dt并F (s)故 G(s):

11、s1例11-4利用积分性质求f (t) = t和f (t)=的象函数1 1解由于 f (t) =t = o ( )d ，所以 Lt二-X - s s 0_Lt2=2 2s s_ 2_3s依次类推Ltnn!n 1sLf(t-t0)=e0F(s)4. 时域延迟性质f (t -t。)是f(t)的延迟函数,设f(t)的象函数为F(s)，证明 由于t : t0时f(t) =0。令.二t -t0则Lf(t -t。) = f (t -t0)etd . f(t-t0)/dt0 _t0二 fC)ee%.二et0F(s)例11-5 求如图11-1中波形的象函数解 p(t) (t) _ ；(t _a)由延迟性质可得

12、：1_sa 11sa、G (s) e(1 - e )s s s5. 频域微分性质设 f(t)的象函数为 F(s)，则 Ltf (t)二F(s) dsp(t)O图11-1例11-5图dd-F(s) f (t)e dt dsds 0-所以：Ltf(t)H - F(s)，ds例11-6利用频域微分性质求K= (-t)f(t)edt = -Ltf (t)多次使用此性质，可得:t sin(bt)的象函数d nLtnf(t) = (1)nF(s)证明 F(s)= of ( e)stdt，两边对s求导得：解 由于 L(sin(bt) = 7 2s +b 2、2b )所以 L(tsin(bt)d (丁2)22

13、bsds s +b (s6 .频域积分性质设f(t)的象函数为F(s)，则L平s F(u)du证明JF(u)du = J (t)edtdu =f(t)eutdudt= .；f (年t = L半例11-8求却凹的象函数t解由于Lsi n(t)所以Lsin(t)12du u21su2 1dU1s 12 dv = arctgv 17.频域延迟性质 设f(t)的象函数为证明Ledf(t)=F(s + a)Letf(t)P 0f(t)etetd.；f(t)ef (t)二 et sin(t)的象函数coS2 2F(s)，则a)tdt =F(s a)例11-9利用频域延迟性质求解 由于 F(s)二 Lsin( t)所以8.尺度变换性质1 s 设 f (t)的象函数为 F (s)，则 Lf (at)H2F(-)a aqQ证明 Lf (at ) f/f a( efdts0 If (. )e a d .= a 0-s3+ 1设.二 at ,则 o f (at)e dt :例11-10已知f (t) =(t -2)2的象函数是F(s)=1 sF()a a24s 4s 22，求g(t) =(at-2)的象函数解 g(t) =(at-2)2 = f(at)21 l / S、14(s a) -4 s a 2所以G(s) F (厂a a a4s24as 2a2(s a)39.卷积