牛吃草问题含例题答案讲解

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1、小 学 数 学 牛 吃 草 问 题 知 识 点 总 结 ：牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片 草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少大。由于吃的天数不同，草 又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式：1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”2）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）一 （吃的较多天数一吃的较少天数）；3）原有草量=牛头数x吃的天数一草的生长速度x吃的天数；4）吃的天

2、数=原有草量+ （牛头数草的生长速度）；5）牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度。例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150 + （20-1。=5份10X20=200份原草量+20天的生长量原草量：200-20X 5=100 或150-10K 5=100份15X10=150份原草量+10天的生长量100+ (25-5) =5天 自主训练 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9 头牛吃20 天，可供 15头牛吃 10

3、天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：(180-150 + (20-1。=3份9X20=180份原草量+20天的生长量 原草量：180-20X 3=120份 或150-10X 3=120份15X10=150份原草量+10天的生长量120+ (18-3) =8天例 2、 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20头牛吃 5 天， 或可供 15头牛吃 6天。 照此计算， 可供多少头牛吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：(100-9。+ (6-5) =10份20X5=100

4、份原草量-5天的减少量原草量：100+5X 10=150或90+6X 10=150份15X6=90份原草量-6天的减少量(150-1OX 10) +10=5头 自主训练 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供 30头牛吃 8 天，可供 25头牛吃 9 天，那么可供21 头牛吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：(240-223 + (9-8) =15份30X8=240份原草量-8天的减少量原草量：240+8X 15=360份或220+9X 15=360份25X9=225份原草量-9天的减少量360+ (21+15) =10天例 3、

5、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？男孩：20X 5 =100 (级)自动扶梯的级数-5分钟减少的级数女孩;15X 6=90 (级)自动扶梯的级数-6分钟减少的级数每分钟减少的级数=(20X5-15X 6) +(6-5)=10徵)自动扶梯的级数=20X5+5X 10=150 (级)自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走3级阶梯， 女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走

6、了300秒。问该扶梯共有多少级？3X 100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数2 X 300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：(2X300-3X 100) + ( 300-10。=1.5 (级) 自动扶梯级数=3X100-10OX 1.5=150 （级）1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长(每天的增长量相等)，如果放牧24 头牛，则 6 天吃完草，如果放牧21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=12

7、 头牛吃最多只能放 12 头牛2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃 40天，或 6供头牛吃 30天。如果 4 头牛吃了 30 天后，又增加2 头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200； 6*30=180200-180=20每天长的草 :20/(40-30)=2原有草： 200-2*40=1204*30=12030*2=6060/4=15 天3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活 90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？假设 1 亿人头 1

8、 天吃 1 个单位110*90=9900； 90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放2 个入口处 20 分钟就没人排队，现开放4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=41)因为草量= 原有草量 + 新长出的草量，而且草量是均匀增长的。所以“对应的牛头数X吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量， 即为：吃的较多天数时的总

9、草量= 草地原有草量+ 草的生长速度*较多天数时的时间。同理“相应的牛头数X吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为：吃的较少天数时的总草量= 草地原有草量+ 草的生长速度* 较少天数时的时间。两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下总草量的差，右边等于草的生长速度*两次情况下的时间差，所以直接把时间差除到左边去，就得到了草的生长速度了。（ 2） 牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草， 而是新增长出来的草。 所以“牛头数X吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。当然草的总量减去新增长出来

10、的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：1） 设定一头牛一天吃草量为“1）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）+ （吃的较多天数一吃的较少天数）；2）原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；3）吃的天数=原有

11、草量+ （牛头数草的生长速度）；4）牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。 由于吃草的牛头数不同， 求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总

12、所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1 .（牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数 ）一 （吃的较多的天数吃的较少的天数）= 草地每天新长草的量。2 .牛的头数X吃草天数-每天新长量X吃草天数=草地原有的草。解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“ 1 ”相对简单些。“牛吃草”问题分析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐【华图名师姚璐例 1】有一块牧场，可供10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6

13、【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X 头牛吃一天，这片草场可供25 头牛吃 Y 天根据核心公式 代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5( 天)璐例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X 头牛吃一天，根据核心公式代入(20 X 1015 X 10)=5 10X205X 20=100 100 + 4+5=30(头)【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃 33公亩牧

14、场的草， 54 天后可以吃尽， 17头牛吃 28 公亩牧场的草， 84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35【华图名师姚璐答案】 D【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 X 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧草量为 Y ，24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 Z 头牛根据核心公式：，代入，因此 ，选择 D【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是卜面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段

15、时间后，用 2 台抽水机排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用 16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006 上】A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台【华图名师姚璐答案】 B【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水量，共需Y台抽水机有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【华图名师姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干， 10 台抽水机需抽 8 小时， 8 台抽水机需抽 12 小时，如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】A.16 B.20 C.24 D.28【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水量，共需Y小时有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在9 周内吃光，21 只猴子可在12 周内吃光，问如果有33 只猴子一起吃