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1、名校精品资料数学第六章不等式及不等式选讲第一节不等关系与不等式考情展望1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用一、实数的大小顺序与运算性质的关系abab0，abab0，abab0.二、不等式的性质1对称性：abbb，bcac；(单向性)3可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)4可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)5乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；(单向性)6开方法则：ab0(nN，n2)；(单向性)7倒数性质：设ab0，则ab.(双向性)真、
2、假分数的性质若ab0，m0，则(1)真分数的性质：，(bm0)(2)假分数的性质：，(bm0)1对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】abD/ac2bc2，如c0时，ac2bc2，但ac2bc2ab，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件【答案】B2在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h【答案】D3已知a，b为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是(
3、)Aa4b4 B.C|a|b| D2a2b【解析】当a1，b2时，A、B、C均不正确，由y2x的单调性知，D正确【答案】D4.与1的大小关系为_【解析】(1)(1)(1)0，1.【答案】15(2012湖南高考)设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D【解析】ab1，.又c，故正确当c0时，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确【答案】D6(2013天津高考)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而
4、不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由不等式的性质知(ab)a20成立，则ab成立；而当a0，ab成立时，(ab)a20不成立，所以(ab)a20是ab的充分而不必要条件【答案】A考向一 099应用不等式表示不等关系(1)某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为_(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式【思路点拨】(1)“不低于300元”的含义为“大于等于300元”(2)“至少”及
5、“不超过”的含义分别为“大于等于”和“小于等于”【尝试解答】(1)设最低生活保障金为x元，则x300.【答案】x300(2)设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则x、y满足规律方法11.本例(2)在求解时，常因忽略变量x，yN*致误.2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义. 考向二 100不等式的性质及应用(1)若a0ba，cd0，则下列命题：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中能成立的命题为_(2)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求
6、f(2)的取值范围【思路点拨】(1)利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假(2)把f(2)表示成mf(1)nf(1)的形式是解题的关键用待定系数法或者以a、b为桥梁，利用方程思想解题【尝试解答】(1)a0b，cd0，ad0，bc0，则adbc，(1)错误由a0ba，知ab0，又cd0，因此a(c)(b)(d)，即acbd0，0，故(2)正确显然acbd，(3)正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，(4)正确【答案】(2)法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,
7、2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二因为a，b.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.故5f(2)10.规律方法21.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误.2.由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围.对点训练(1)设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdCacbd Dadbc(2)若，满足试求3的取值范围【解析】(1)由不等
8、式的同向可加性可知C正确【答案】C(2)设3x()y(2)(xy)(x2y).由解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.考向三 101比较大小(1)已知mR，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)比较aabb与abba(a0且a1，b0且b1)的大小【思路点拨】(1)计算出f(a)与f(b)，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小【尝试解答】(1)法一f(a)，f(b)，f(a)f(b)m2m2m2，当m0时，f(a)f(b)；当m0时，m20，又ab1，f(a)f(b)，即f(a)f(b)法二f(x)m2，f(a)m2，f(b)m2，由于ab
9、1，a1b10，11，当m0时，m2m2，即f(a)f(b)；当m0时，m2m2，即f(a)f(b)，f(a)f(b)(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，aabbbaab，当ab0时，1，ab0，则ab1，aabbabba，当ba0时，01，ab0，则ab1，aabbabba，当ab0时，ab1，aabbabba，综上知aabbabba(当且仅当ab时取等号)规律方法31.第(1)中，若注意到m20，亦可构造函数(x)(x1)，判断出(x)是减函数，f(a)f(b)2(1)“作差比较法”的过程可分为四步：作差；变形；判断差的符号；作出结论其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方
10、等(2)“作商比较法”的依据是“1，b0ab”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法对点训练若ab0，试比较ab与ab的大小【解】 (ab)(ab)a()b()()(ab)()2()，0，()20，(ab)(ab)0，abab.易错易误之十一不等式变形中盲目扩大范围1个示范例1个防错练(2012陕西高考改编)设函数f(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最大值和最小值【解】 (1)当b1，c1，n2时，f(x)xnx1，ff(1)10，f(x)在区间内有零点，又当x时，f(x
11、)nxn110，f(x)在上是单调递增的，f(x)在内存在唯一零点(2)法一由n为偶数，且|f(1)|1，|f(1)|1，即本例(2)在求解中常犯以下错误：,n为偶数，且|f(1)|1，|f(1)|1，因此1b1，且2c0.,7b3c1，,故b3c的最大值为1，最小值为7.出错原因为：(1)忽视字母b、c相互制约的条件，片面将b，c分割开来导致字母范围发生变化.(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误.作上述不等式组表示的可行域，如图所示令tb3c，则c.平移b3c0，知直线过原点O时截距最大，过点A时截距最小，tb3c的最大值为0300；最小值
12、为03(2)6.法二由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0.当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，b3c的最小值为6，最大值为0.【防范措施】处理该类问题的方式常有两种：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.(2)运用线性规划，根据tb3c的几何意义，数形结合求t的最值.已知函数f(x)ax2c，且f(1)4，1，f(2)1,5，求f(3)的取值范围【解】 法一(以a、c为桥梁，方程组思想)f(x)ax2c.f(3)9acf(1)f(2)1f(3)20.f(3)的取值范围为1,20法二(待定系数法)设f(3)f(1)f(2)，9ac(ac)(4ac)，解得.f(3)
