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1、非等差、等比数列求和的几种方法一般的，数列求和应从通项入手，若无通项， 先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列 有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适 的方法求和。下面谈谈数列求和的几种常用方法。一、分组转化法求和 有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列。 若将其每一项拆开， 可分为几个等差、 等比或常数列， 然后分别求和，再将其合并即可。像这样的数列求和 方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项 变形。例 1.已知数列 1, 1+3, 1+3+32,，1+3+32+ +3n，该数列的前Sn项和。思路点拨：由题设可知，该数列的通项公式为：an=1+3+32+3n=
2、=(3n-1),而数列3n是等比数列，1 是常数列，于是可将该数列的每一项拆开 再重新组合，从而转化为等比和常数列求和。精解详析：由题设可知，该数列的通项公式为：an=1+3+32+3n= =(3n-1),则Sn= (3-1) +(32-1) +(33-1) +(3n-1)=(3+32+33+3n) - (1+1+1 + +1)= -n二、裂项相消法求和 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在 求和时常用“裂项相消法”。用裂项法的关键是分析数 列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定 要是同一数列相邻的两项，即这两项的结论应一致。例 2数列an :,+ ,+ + ,+ + +,那么数
3、列 bn= 前 n 项和为： 。思路点拨：由已知条件可求得an,由an简化得 bn,从而考察数列bn的特征，进而运用裂项相消法求 得数列 bn 的前 n 项和。精解详析：T an=bn= = =4(-)Sn=4 (1- + - + - + + -)=4(1- )例3.数列an的通项公式是an=。若前n项和为 8,则项数 n=。思路点拨：已知了数列an的通项公式，则可先 观察该数列通项公式的特征,对其进行变形化简,再求和，从何求出项数 n。精解详析：t an= = n+1-n/. Sn=a1+a2+an=(2-1) + ( 3- 2) + + ( n+1- n)= n+1-1令 n+1-1=8n
4、=80。三、错位相减法求和如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求 数列an?bn的前n项和时，一般是在和式的两边同乘 以等比数列 bn 的公比，然后作差求解，这样的方法 称之为错位相减法。例4. (2010山东高考)设数列an满足 a1+3a2+32a3+3n-1an= (n N+)。(1)求数列an的通项公式。( 2)设 bn= ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn。思路点拨：(1) 将已知等式中的n换为n-1,得另一等式， 两式相减即得 an。(2) 利用通项公式an,先简化bn,考虑运用错 位相减法求 Sn。精解详析：(1 ) a1+3a2+32a3+3n-1a n= a1+3a2+32a3+ +3n-2an-仁(n2) 二-，得 3n-1an=an=在中， n=1a1=an= (n N+)(2)v bn=，二 bn=n?3n Sn=3+2?32+3?33+n?3n 3Sn=32+2?33+3?34+ (n-1) ?3n+n?3n+1 由-，得 2Sn=n?3n+1- (3+32+33+3n)2Sn=n3n+1-二 Sn= + (n N+)
