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1、解析核心知识 促进学生数学理解 摘要“让学生理解”是教师在制定教学目标时的常用语，也是教学的首要任务。没有学生对知识的理解，教师的教学便是无效劳动。教师的教学行为就是要促进学生理解知识从而内化为自己的知识结构。解析核心知识能够很好地促进学生对知识的理解。本文着重就如何把握核心知识、解析核心知识进行探讨，以期通过核心知识强化学生对相关知识的理解。关键词数学理解、核心知识一、认识数学理解数学理解是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和解决问题。也就是说，当数学知识被学生在理解的基础上内化，成为学生自
2、身知识体系的一部分并能灵活应用时，才真正形成了数学理解1。对提出的问题所给予的回答，可以表现出理解的不同程度或不同水平。对所理解的对象能用自己的话表达出来，包括对语言材料能加以改组，改变其表达方式，这是理解的标志2。如学生对“数的绝对值”概念的学习，已有的知识经验是数的正负性和数轴概念。教学实践中，经常有学生说“负数的绝对值是一个正数”或者“一个数的绝对值就是去掉符号”或者“就是不考虑数的正负性”，表面上看来这些都是学生对原有定义的改组并用自己的语言表述了绝对值概念，但这种改组偏离了概念本身的内涵，因此建立在这种表述上的认识还不能算是正确的理解，因为当用字母来表示数时，用上述解释就很难做出正确
3、的判断。由数在数轴上对应的点到原点的距离来解读数才是对数的绝对值概念的理解。课本例题如下：一辆汽车在东西方向的道路上行驶，规定向东为正，出发地为原点，然后来回地行驶，并最终停在某处，总共行驶了多少路程？这里就是绝对值的和，也就是无须考虑行驶方向。从本例出发来解析数的绝对值才真正有助于学生理解绝对值概念。“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值是零”让学生掌握了求一个数的绝对值的方法。二、解析核心、理解概念课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关
4、大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”3。因此，概念教学中，教师的重要任务是对核心概念进行正确的解析以帮助学生正确地理解概念。以初中数学中的三角函数概念教学为例，如果教师只停顿在定义式的教学上，那么学生也只是记住了三个三角函数的定义式，只是能够用定义式进行简单的计算与问题解决，而并没有达到真正意义上的理解。在一所省一级重点高中听了任意角的三角函数一课后发现，学生对于直角三角形下的锐角三角函数的理解原来是那么的模糊。课堂中笔者发现许多学生对于直角三角形下的锐角三角函数，连最起码的“自变量”、“函数”都没弄清，他们只能机械地背出某个三角函数是哪两条边的比值。学生对概念的认
5、知只停留在记忆层面而远未达到理解层面。究其因，主要是初中教师没有真正解析直角三角形下的锐角三角函数本质。课堂教学中，补充以下的设计可以很好地解析“直角三角形下的锐角三角函数与三角形的边长无关”。CBAC1B1A1直角三角形有三条边，两两之比共有六种情况，分三组，每一组是互为倒数关系，因此只需要讲述其中的三组，这便是课本所提出的正弦、余弦、正切。ABC与A1B1C1中，C=C1=90，A=A1。（1）ABC与A1B1C1是什么关系？（2）吗？为什么？P1BPA Q Q1 C如果将这个设计再进一步引伸，那么我们还可以补充设计如下。在BAC的AB边上任意取点P、P1，分别作PQ、P1Q1垂直AC于Q
6、、Q1。则，说明与点P的位置无关。同理，与与点P的位置无关。BA C1 CB1课堂中有学生会疑惑：“与三角形的边长无关就能说明A的三角函数与A的角度有关吗？”很明显，学生的疑惑是有道理的。为了让学生对这三个三角函数有一个本质上的理解，在课堂教学中有必要再补充如下的设计。如图，ABC中，C=90，将AB绕点A旋转到AB1，AB1=AB，则B1ACBAC，作B1CAC于C1，显然B1C1BC，ACAC1。根据三角函数的定义式，得到。同理：，。BA C C2B2如图，ABC中，C=90，将AB绕点A旋转到AB2，A B2=A B，则B2ACBAC，作BCAC于C2，显然B2C2BC，ACAC2。根据
7、三角函数的定义式，得到。同理：，。这说明，在直角三角形中，A的正弦值、正切值随角度的增大而增大，而余弦值随角度的增大而减小。也就是说，在直角三角形中，三个三角函数中自变量是角度，三角形的三边只是一个用来计算某个角的三角函数值的一个载体。这是对直角三角形下的三角函数的本质解析。经过这样的教学过程，学生对三角函数的认识才会上升到理解的层面。在初中数学中，教师常受到教材编写、教学要求与教学时间的制约，对知识的教学可能就停顿在浅显的层面，而对教学内容的后续发展缺少一定的认识，这是我们初中数学教师应该引起重视的方面。三、把握核心、突出重点教学重点是指要求学生必须掌握的最基本、最重要、最关键的知识点。重点
8、一经确定，分析教材就要从深度和广度上对其进行全方位的挖掘使学生对其全面、深刻和灵活地理解4。许多时候，这个教学重点也是核心知识。如果能够把握这个教学重点进行必要的核心解析，那么学生对于知识的理解就会深入，知识间的关联性就会更加清楚，使学生的认知结构更加完备。在二元一次方程组的知识中，教学重点不仅是如何解方程组，而首先是认识方程组解的概念和这个解的几何意义。但在实际的教学中，教师往往主要强调如何解这个方程组，而对于方程组解的几何意义没有足够的关注，有的干脆避而不谈，更没有将二元一次方程与一次函数之间的内在联系进行必要的探讨，学生大脑中的知识是割裂的，而这种割裂正阻碍着学生的理解。在一所省一级重点
9、高中听了曲线与方程一课发现，许多学生对“曲线（形）”与“方程（式）”之间的对应关系无法理解，教师通过圆与表示圆的方程之间的对应关系来讲解，可学生仍然不知所云。其实，原因仍然在于二元一次方程和一次函数的教学中没有将两者进行必要的化归与整合。二元一次方程的教学在七年级（下），而坐标系与一次函数教学在八年级（上），两者出现在不同的教学时空上，教师如何把握这个重点，如何来解析这个核心知识就成为教学的一个难点。教学中对“方程组的解”这一概念的解析较多的停顿在验证性层面。解二元一次方程组的教学中，更多的是强调解方程组的方法与过程。在一次函数教学中，重点放在了一次函数的图像与一次函数式的确定。因此，学生对“
10、直线（形）是二元一次方程（式）的直线，二元一次方程（式）是直线（形）的方程”的理解自然就不够全面与深入。如果我们的课堂教学中对于二元一次方程、一次函数和坐标系中的直线有一个整体的核心把握，那么学生的理解才会到位。一个二元一次方程有无数个解，这无数个解就对应着坐标系中的无数个点，这无数个点就是一条直线。一条直线必定有一个表示它的一次函数，一次函数在形式上也雷同于一个二元一次方程。尽管在课堂教学中我们不能说两者等同，但应当将两者进行化归，找到共同的属性。在一次函数的教学中，设计下面这样的练习就能够很好地解决两者间的化归问题。练习1、将下列各式化为的形式（1）；（2）；（3）。练习2、将下列各式化为
11、的形式（1）；（2）；（3）。练习3、求直线与直线的交点坐标。题目简单却能很好地让学生认识二元一次方程与一次函数之间的内在联系。四、落实核心、达成目标课堂教学是指在课堂这一特定情境中教师教与学生学构成的双边活动，是以知识点为线索，以包含知识点的实例或实验等为载体，师生共同探究知识的本质属性的过程5。数学核心知识就是数学知识体系中，明确的、结构性的知识，因而是有广泛运用的、重要的知识6。因此，核心知识是课堂教学主线上的关键点，它是知识向纵深拓展、横向延伸的出发点，落实核心是课堂教学的关键所在，也是达成目标的基础。如七年级（下）第3章第1节“事件的可能性”，知识点是“事件”和“事件的可能不同结果”
12、。对于“事件”这一知识，在此主要是对“事件”进行分类并给出不同的称呼，而“事件的可能不同结果”才是课程的核心，教学中既要让学生理解事件的可能不同结果，也要让学生学会呈现可能不同结果的方法。在实际教学中，常有教师列举了大量的生活事件来让学生进行简单的判断（是什么事件？），同时还让学生通过摸球与游戏实验来让学生进行体验，让学生对事件的可能不同结果有一个直观的认识，因此花费大量的时间，而在呈现方法上却显得仓促应对，没能让学生进行必要的变式练习。其实，本课的教学中，学生对于事件的认识是不需要教师再投入较多精力，只是对于事件的分类需要教师在分类方法上的指导。因此，对于事件这个知识的时间分配可适当减少。而
13、对于事件的可能不同结果及其呈现方法应当投入主要精力。这里可以通过较丰富的变式练习来提高学生对事件的可能结果认识与理解。要让每个学生动手写一写、画一画。教学中简单内容的游戏实验不仅不能提高课堂活动效果，更不利于学生思辩力的培养。趣味性也同时应当建立在有效性与思维性的基础之上。因此，简单的摸球游戏不应当被投入较多的精力。五、认识知识，核心相连知识的产生与发展都有一个系统性，教学中要了解知识的起点与现时状态之间的关系7。如果不这样考虑，许多知识就会被相互割裂，教学中不能找到知识的起点也会给学生带来生疏感，造成学习困难，从而降低教学的效果。在小学六年级（下）的教材中有一节“数学广角抽屉原理”，教师说：
14、“这节课内容很抽象，前后没有什么联系，学生不好理解，因此多用一些直观的教具和一些直观的游戏。”当笔者提问“抽屉原理与小学生学过的哪个知识点有联系？”时，教师们竟然答不上来，这其中还有许多的初中教师。其实，小学所学的“抽屉原理”的知识起点就是小学算术中的整数拆分，当一个整数被拆分成若干个整数的和时，每一组中总有一个最大数，然后再取这些最大数中的最小数，简单地可称为最大数中的最小数。当然，这比较抽象，不好让学生理解，但作为教师是应当明确的，至于是否在课堂上向学生讲解，那可以根据学生的情况而定。而现实是教师自己都不知道，因此，即使通过大量的直观教学也上升不到理性思考，更不可能有知识间的链接与化归，这对学生的发展是极其不利的。六、结束语 课堂核心往往并不单一，但也不是每个知识都是核心，因此，需要教师来把握。解析核心也不是对核心知识概念更换新的解说词，而是对核心概念的前后知识联系进行挖掘，找准能够解释概念本质且又是学生熟悉的知识。本文主要通过如何针对核心知识进行教学补充设计以更好地突出核心以促进学生对核心知识的理解。由于教学水平与理论水平的双重缺陷，本文必定存在许多问题，权当抛砖引玉。
