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1、【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性（ 2014高考）第3讲 函数的奇偶性与周期性 知 识 梳 理 1(函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 偶函数 关于y轴对称 f(,x),f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 奇函数 关于原点对称 f(,x),f(x)，那么函数f(x)是奇函数 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)( (2)在公共定义域内 ?两个奇
2、函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数( ?两个偶函数的和函数、积函数是偶函数( ?一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数( (3)若函数f(x)是奇函数且在x,0处有定义，则f(0),0. 3(周期性 (1)周期函数:对于函数y,f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x，T),f(x)，那么就称函数y,f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期( (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期( 辨 析 感 悟 1(对奇偶函数的认识及应用 2(1)函数y,x，x?(0，?)是偶函数(
3、) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点() (3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x),f(x)，g(x)是偶函数(?) (4)若函数y,f(x，a)是偶函数，则函数y,f(x)关于直线x,a对称(?) 12(5)(2013?山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x,0时，f(x),x，则f(,x1),2.(?) (6)(2014?菏泽模拟)已知函数y,f(x)是定义在R上的偶函数，且在(,?，0)上是减函数，若f(a)?f(2)，则实数a的取值范围是,2,2() 2(对函数周期性的理解 (7)函数f(x)在定义域上满足f(x，a),
4、f(x)，则f(x)是周期为2a(a,0)的周期函数(?) x(8)(2013?湖北卷改编)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x),x,在R上是周期函数(?) 感悟?提升 1(两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称若不对称则该函数一定是非奇非偶函数如(1), 二是若函数f(x)是奇函数则f(0)不一定存在,若函数f(x)的定义域包含0则必有f(0),0如(2)( 2(两个结论 一是若函数y,f(x，a)是偶函数则函数y,f(x)关于直线x,a对称,若函数y,f(x，b)是奇函数则函数y,f(x)关于点(b,0)中心对称如(4)( 二是若对任意x?D
5、都有f(x，a),f(x)则f(x)是以2a为周期的函数,若对任1意x?D都有f(x，a),?(f(x)?0)则f(x)也是以2a为周期的函数如(7)(8). fx考点一 函数奇偶性的判断及应用 【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性: 1,x22?f(x),x,1，1,x;?f(x),ln. 1，x12(2)(2013?辽宁卷改编)已知函数f(x),ln(1，9x,3x)，1，则f(lg 2)，f(lg ),2_. 2x,1?0，, (1)解 ?由得x,?1. 2 1,x?0,?f(x)的定义域为,1,1( 又f(1)，f(,1),0，f(1),f(,1),0， 即f(x),?f(,x)( ?
6、f(x)既是奇函数又是偶函数( 1,x1,x?由,0，得,1,x,1，即f(x),ln的定义域为(,1,1)， ，x，x111,x1，x1,x,1,又f(,x),ln,ln,ln,f(x)，则f(x)为奇函数( 1，x1,x1，x,2 设g(x),ln(1，9x,3x) (2)解析12则g(,x),ln(1，9x，3x),ln, 21，9x,3x2,ln(1，9x,3x),g(x)( ?g(x)为奇函数( 1,lg,?f(lg 2)，f,f(lg 2)，f(,lg 2) 2,g(lg 2)，1，g(,lg 2)，1,g(lg 2),g(lg 2)，2,2. 答案 2 规律方法 判断函数的奇偶性
7、其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域, (2)判断f(x)与f(,x)是否具有等量关系(在判断奇偶性的运算中可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)，f(,x),0(奇函数)或f(x),f(,x),0(偶函数)是否成立( 【训练1】 (1)(2013?湖南卷改编)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(,1)，g(1),2，f(1)，g(,1),4，则g(1)等于_( x (2)设f(x)为定义在R上的奇函数(当x?0时，f(x),2，2x，b(b为常数)，则f(,1),_. 解析 (1)由题意知:f(,1)，g(1)
8、,f(1)，g(1),2? f(1)，g(,1),f(1)，g(1),4? ?，?得g(1),3. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数 0所以f(0),2，20，b,0解得b,1. x所以当x?0时f(x),2，2x,1 1所以f(,1),f(1),(2，21,1),3. 答案 (1)3 (2),3 考点二 函数的单调性与奇偶性 1【例2】 (1)(2014?山东实验中学诊断)在函数?f(x),;?f(x),x;?f(x),2x,xx,2;?f(x),tan x中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是_( (2)(2013?辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，?)上
9、为1,增函数，且f,0，则不等式f(x),0的解集为_( log13,81解析 (1)f(x),在定义域上是奇函数但不单调, xf(x),x为非奇非偶函数,f(x),tan x在定义域上是奇函数但不单调( 1,(2)由已知f(x)在R上为偶函数且f,0 3,1,?f(x),0等价于f(|x|),f又f(x)在0，?)上为增函数?|x|logloglog1113,8881111,即x,或x,解得0,x,或x,2. loglog113332881,0，,答案 (1)? (2)?(2，?) 2,规律方法 对于求值或范围的问题一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性再利用其单调性脱去函数的符号“f”转
10、化为解不等式(组)的问题若f(x)为偶函数则f(,x),f(x),f(|x|)( 【训练2】 (2013?天津卷改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，?)上单调递增(若实数a满足f(loga)，f(a)?2f(1)，则a的取值范围是2log12_( 解析 因为f(x)是偶函数所以f(,x),f(x),f(|x|)又因为a,loga且2log12f(x)是偶函数所以f(loga)，f(a),2f(loga),2f(|loga|)?2f(1)即222log12f(|loga|)?f(1)又函数在0，?)上单调递增所以0?|loga|?1即 221,1?loga?1解得?a?2.
11、221，2,答案 2，考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用 【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x,4),f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(,25)，f(11)，f(80)的大小顺序为_( 令x,x,4审题路线 f(x,4),f(x)?f(x,8),f(x)?结合f(x)奇偶性、周期性把,25,11,80化到区间,2,2上?利用,2,2上的单调性可得出结论( 解析 ?f(x)满足f(x,4),f(x) ?f(x,8),f(x)?函数f(x)是以8为周期的周期函数则f(,25),f(,1)f(80),f(0)f(11),f(3)( 由f(x)是定义在R上的
12、奇函数且满足f(x,4),f(x)得f(11),f(3),f(,1),f(1)( ?f(x)在区间0,2上是增函数 f(x)在R上是奇函数 ?f(x)在区间,2,2上是增函数 ?f(,1),f(0),f(1)即f(,25),f(80),f(11)( 答案 f(,25),f(80),f(11) 规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【训练3】 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x，2),f(x)，2当x?0,2时，f(x),2x,x. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x?2,4时，求f(
13、x)的解析式; (3)计算f(0)，f(1)，f(2)，f(2 014)( (1)证明 ?f(x，2),f(x)， ?f(x，4),f(x，2),f(x)( ?f(x)是周期为4的周期函数( (2)解 ?x?2,4，?,x?,4，,2，?4,x?0,2， 22?f(4,x),2(4,x),(4,x),x，6x,8， 2又f(4,x),f(,x),f(x)，?,f(x),x，6x,8， 2即f(x),x,6x，8，x?2,4( (3)解 ?f(0),0，f(1),1，f(2),0，f(3),1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ?f(0)，f(1)，f(2)，f(3),f(4)，f(5)，f(
14、6)，f(7) ,f(2 008)，f(2 009)，f(2 010)，f(2 011),0. ?f(0)，f(1)，f(2)，f(2 014),f(2 012)，f(2 013)，f(2 014),f(0)，f(1)，f(2),1. 1(正确理解奇函数和偶函数的定义必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件,(2)f(,x),f(x)或f(,x),f(x)是定义域上的恒等式( 2(奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据(为了便于判断函数的奇偶性有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式:f(,x),?f(x)?f(,x)?f(x)f，,x，,0?,?1(f(x)?0)( f，x，3(奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称反之也成立(利用这一性质可简化一些函数图象的画法也可以利用它去判断函数的奇偶性( 方法优化1根据函数的奇偶性求参数值 x【典例】 (2011?辽宁卷改编)若函数f(x),为奇函数，则a,_. ，2x，1，x,a，一般解法 由题意知f(,x),f(x)恒成立 ,xx即, 11,x，x，,2，,x,a，2，x,a，22,111,x,x，,即(x，a),(x,a)恒成立所以a,. 22,2优美解法 (特值法) 由已知f(x)为奇函数得f(,1),f(1)
