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1、一个最基本的有限元计算程序胡金山,朱青云，余治国（西安空军工程大学工程学院，西安710038）Sdf一. 我们在学习有限元课程时做的另一个作业，用C/C+编程求解了一个简单的有限元问题，可以作为有限元学习的编程实例，以更好地理解有限元理论，并为进一步使用大型有限元软件打下基础。本文所涉及的有限元基本理论请参考章本照先生编著的,PP.156-165。源代码下载：FemSrc.zip二维传热问题L在迫长为1的正方形中，（1川一（1）也上和（。）一（1）边上，温度口=队在（1,0）一（。）迥上和皿1）一（叽）也比较有限元解和精确解:必/）=（1-/）+当乏（-1）-cos（2一1切/2cosh-（2
2、-1）/2-1）3cosh（2-1）2y冬=0=12、当力=就1顼）=u（盈Q=。和时，在边长为1的正方形中，求解Laplace方程；-比湘限元解和精暇如）=竺吒搭:般驾）湖1.00.0单元剖分示意；（实际划分34*24*3=1152个单元，35*25=位5个结点）二. 解题过程1、对结构进行离散化，将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，按结构物的不同和分析要求，选取不同形式的单元，在单元的边界上设置节点，并书写编号。计算节点坐标2、单元分析：设法导出单元的结点位移和结点力之间的关系，建立单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的计算：对于方程-2_2(x,y)f1&u&u+=p&cyul=uc
3、uM=gj；n采用Galerkin弱解表达式捋壁四+买些叽睥守uu如=&g%ud()：|x:x:y-2这里采用三节点的三角形单元，单元的基函数共有三个，选用插值多项式庄(e)-a(e)，b(e)x，v(i-123)m：iUjixCjy(,jo)分别代入单元三个节点的坐标可解得.(e)(e)1Xjy；(e)1n(e)(e)1/(e)(e)(e)(e)、=0xjyj=R(XjykXkyj)D0xke)yk(e)Dbi(e)1(e)“(e)、=D(yj-yk)(e)1,(e)(e)Ci=(xk-xj)D其中1x(e)yi(e)D=1xje)y(e)=2A(e)d(e)(e)1xkyk-(e)1,(e
4、)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)1A=2(xj-xi)(yk-yi)(yj-yi)(xk-x)e单元中的近似函数为u(e)=u(e)中件()将式(*)中的积分区域取为e单元的区域Q(e),并将单元中的近似函数表达式(*代入，并注意到品ui(e)的任意性，可得_!(e)-.(e)_i(e)-、(e)(e)Uj,bi:fjfilj渚)(以尚:y)dxdy-.；仰p：e)dxdy，十)gn(e)d】(e)j)记A：=fLe)(+)dxdy(*)()jx:x；:y；y(e)fi(e)=-3p：，（e）dxdy甘用时：将单元基函数的具体表达式（*）代入（*）式中，可得*)A(e)_fh(e)
5、h(e)(e)(e)Aj(hihjcicj)A(e)通过等参变换（具体见文献1第201页），可得=2Al!m!n!(lmn2)!这里指p为常数的情况，A为三角形单元的面积。Ii=.罗3这里g均为0,所以此项不用计算。3、整体分析（以求结点力为例）整体分析就是将各个单元组成结构整体进行分析。整体分析的目的在于导出整个结构结点位移与结点力之间的关系，建立整个结构的刚度方程。分析步骤：首先按着一定的集成规则，将各单元刚度矩阵集合成结构整体刚度矩阵，并将单元等效结点荷载集合成整体等效结点荷载列阵；然后引入结构的位移边界条件，求解整体平衡方程组，得出基本未知量一一结点位移列阵。4、用选定的算法语言编写出
6、程序（C/C+）,调试程序调用高斯消元法解方程的出结果。附件程序Feml.cpp计算了积分值，Fem2.cpp则采用了面积坐标下的插值函数，积分值取为三角形面积的三分之一。两者结果相同，但是后者更为通用，可以把程序用于其他形状的二维区域的有限元计算，Fem3.cpp计算了题2。三. 单元网格划分四边形单元网格划分单元网格划分示意如图总体结点号单元结点号单元铭号计算结果结果数据可视化如图2,3。它们是题1分别用Feml.cpp程序和Fem2.cpp程序计算结果的Matlab数据可视化图，它们表现的数据基本一致，观察视点不同。图4是题2的解。图2图3Y-axis0X-axis利用此程序的基本框架，
7、我们还成功地解算了三角形、椭圆形区域的有限元问题。最后感谢我们的老师一一在数学和计算上具有深厚功力的王旭教授，感谢他对我们的悉心指导和热情鼓励！参考文献：1.章本照.流体力学中的有限元方法M.机械工业出版社，1986出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎
8、、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时,每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。二。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驾钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨谏善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。
