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1、第六篇 多元微积分学第九章 多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.第1节 多元函数的基本概念1.1 平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数
2、微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域1.1.1 邻域设是平面上的一定点，是某一正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即,亦即 在几何上表示以为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)上述邻域去掉中心后，称为的去心邻域，记作.如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的邻域，用表示的去心邻域1.1.2 区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系设是平面上的一个点集，是平面上的一点，则与的关系有以下三种情形：(1) 内点：如果存在的某个邻域，使得，则称点为的内点(2) 外点：如果存在的某个邻域，使得，则称为的外点(3) 边界点：
3、如果在点的任何邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称点为的边界点的边界点的集合称为的边界，记作例如：点集，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点，圆外部的点都是的外点，圆心及圆周上的点为的边界点；又如平面点集，直线上方的点都是的内点，直线下方的点都是的外点，直线上的点都是的边界点(图91)图91显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集是开集，不是开集设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图92) 点集E1和E2都是连通的，点集不是连通
4、的(图92)图92连通的开集称为开区域(开域)从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集如E1是开区域开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广开区域E连同它的边界构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作 (即)闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广如E2及都是闭域，而既非闭域，又非开域闭域是连成一片的且包含边界的平面点集本书把开区域与闭区域统称为区域如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数，使，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域例如E1是有界区域，E2是无界区域记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚
5、点显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点例如，设，那么点既是的边界点又是的聚点，但的这个聚点不属于；又如，圆周上的每个点既是的边界点，也是的聚点，而这些聚点都属于由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E再如点，原点是它的聚点，中的每一个点都不是聚点1.1.3 n维空间Rn一般地，由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn即n元有序数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标类似地规定，n维空间中任意两点与之间的距离为前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，是某一正数，则点的邻域为以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边
6、界点、区域等一系列概念1.2 多元函数的概念1.2.1 n元函数的定义定义1 设D是中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点，都能由f 唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为其中叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作取定，对应的叫做所对应的函数值全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为或，即当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作；当n=2时，D为平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作，若记，则也记作二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定
7、义域这两个要素多元函数的定义域的求法，与一元函数类似若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域例1 在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为（其中均为正常数)这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数该函数的定义域为例2 求函数的定义域D，并画出D的图形解 要使函数的解析式有意义，必须满足即,如图93划斜线的部分 图93 图941.2.2. 二元函数的几何表示设函数的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点，对应一确定的函数值这样便得到一个三
8、元有序数组，相应地在空间可得到一点当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S (图94)其中而函数的定义域D就是曲面S在xO y面上的投影区域例如表示一平面；表示球心在原点，半径为1的上半球面1.3二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广二元函数的极限可表述为定义1 设二元函数的定义域是某平面区域D，P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于0时，函数值f(P)无限趋于某一常数A，则称A是函数当P趋于P0时的(二重)极限记为或，此时也称当时的极限存在， 否则称的极限不存在若点的坐标为，点的坐标为，则上式又可写为或
9、 f (x, y)A（xx，yy）类似于一元函数，无限趋于A可用来刻画，点无限趋于可用刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义定义2 设二元函数的定义域为D，是D的一个聚点，A为常数若对任给的正数，不论多小，总存在，当，且时，总有则称A为当时的(二重)极限注 定义中要求是定义域D的聚点，是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点注意到平面上的点趋近于的方式可以多种多样：可以从四面八方趋于，也可以沿曲线或点列趋于定义1指出：只有当以任何方式趋近于，相应的都趋近于同一常数A时，才称A为当时的极限如果以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于时，即使函数值趋于同一常数A，我们也不能由此断定函数的极限
10、存在但是反过来，当P在D内沿不同的路径趋于时，趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述例3 设判断极限是否存在?解 当沿x轴趋于时，有y=0，于是；当沿y轴趋于时，有x=0，于是但不能因为以上述两种特殊方式趋于时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在因为当沿直线)趋于时，有，这个极限值随k不同而变化，故不存在例4 求下列函数的极限：(1) ；(2)； (3)解(1)(2)当时，有这时，函数有界，而y是当x0且y0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得(3) 从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相
11、同1.4 二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性定义3 设二元函数在点的某邻域内有定义，如果,则称函数在点处连续，称为的连续点；否则称在处间断(不连续)，称为的间断点与一元函数相仿，二元函数在点处连续，必须满足三个条件：函数在点有定义；函数在处的极限存在；函数在处的极限与处的函数值相等，只要三条中有一条不满足，函数在处就不连续由例3可知，在处间断；函数在直线上每一点处间断如果在平面区域D内每一点处都连续，则称在区域D内连续，也称是D内的连续函数，记为在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面一元函数中关于极限的运算法则对于
12、多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；二元连续函数的复合函数也是连续函数与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、的基本初等函数、的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如,等都是二元初等函数二元初等函数在其定义域的区域内处处连续与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质性质1(最值定理) 若在有界闭区域D上连续，则在D上必取得最大值与最小值推论 若在有界闭区域D上连续，则在D上有界性质2 (介值定理) 若在有界闭区域D上连续，M和m分别是在D上的最大值与最小值，
13、则对于介于M与m之间的任意一个数C，必存在一点,使得以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去习题911判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.(1) ； (2) ；(3) 2求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)； (2)；(3)； (4)3设函数，求(1); (2)； (3) .4讨论下列函数在点处的极限是否存在：(1) ； (2)5求下列极限：(1) ； (2)； (3)； (4)6证明：二元函数在点连续7设二元函数，试判断在点处的连续性8函数在何处是间断的？第2节 偏导数与全微分
14、2.1 偏导数的概念2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念设函数在点的某邻域内有定义，x在有改变量，而保持不变，这时函数的改变量为，称为函数在处关于的偏改变量(或偏增量)类似地可定义关于的偏增量为有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义定义1 设函数在的某邻域内有定义，如果存在，则称此极限值为函数在处关于x的偏导数,并称函数在点处关于x可偏导记作类似地，可定义函数在点处关于自变量y的偏导数为，记作如果函数在区域D内每一点处的偏导数都存在，即存在，则上述两个偏导数还是关于x，y的二元函数，分别称为z对x，y的偏导函数(简称为偏导数)并记作不难看出，在关于x的偏导数就是偏导函数在处的函数值，而就是偏导函数在处的函数值由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变
