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1、压轴解答题(三) 时间:45分钟 分值:50分1.已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,其左焦点F1到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则F1MN内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线l的方程;若不存在,请说明理由.2.已知函数f(x)=x2-mln x+n(mR).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0,求实数m,n的值;(2)若-2mb0)过点T,且半焦距c=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,已知D,A(2,1),过点B(3,0)的直线l与椭圆相交于P,Q两点,直线AP,AQ与
2、x轴分别相交于M,N两点,试问|DM|DN|是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.4.已知函数f(x)=ln x+(a0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a时, f(x)e-x.答案全解全析1.解析(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=3,故所求椭圆方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),令y10,y20,设F1MN的内切圆的半径为R,易知F1MN的周长为4a=8,所以=(MN+F1M+F1N)R=4R,若最大,则R最大,易求得=|F1F2|y1-y2|=y1-y2,由题设知直线l的斜率存在,且不为0,可设直线l的方程为x=
3、my+1,联立消去x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,所以y1-y2=,即=,令t=,则t1,=,令f(t)=3t+(t1),易知f(t)在1,+)上单调递增,所以f(t)f(1)=4,则=3,当且仅当t=1,即m=0时,取得最大值3,此时R=,故所求内切圆的面积的最大值为,直线l的方程为x=1.2.解析(1)f(x)=x2-mln x+n(mR),f (x)=2x-.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0,2-m=1, f(1)=0,m=1,1+n=0,n=-1,m=1,n=-1.(2)f (x)=2x-,-2m0在(0
4、,2上恒成立,故函数f(x)在(0,2上单调递增.不妨设0x1x22,则|f(x1)-f(x2)|t可化为f(x2)+f(x1)+.设h(x)=f(x)+=x2-mln x+n+,则h(x1)h(x2),h(x)为(0,2上的减函数,即h(x)=2x-0在(0,2上恒成立,等价于2x3-mx-t0在(0,2上恒成立,即t2x3-mx在(0,2上恒成立.又-2m0在(0,2上恒成立,故y=2x3+2x在(0,2上是增函数,即ymax=223+22=20,2x3-mx20,t20,即t的最小值为20.3.解析(1)解法一:设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-,0),F2(,0),由椭圆
5、的定义可得2a=+=+=2,解得a=,b2=a2-c2=6-3=3.椭圆C的标准方程为+=1.解法二:c=,a2-b2=3,又椭圆+=1(ab0)过点T,则有+=1,故+=2,化简得2b4-3b2-9=0,得b2=3,a2=6,椭圆C的标准方程为+=1.(2)是.设直线l的方程为x=my+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线AP的斜率不存在时,直线BP与椭圆C相切,不符合题意,同理可得直线AQ的斜率存在,故直线AP的方程为y-1=(x-2),则M,即M,0,直线AQ的方程为y-1=(x-2),则N,即N.由得(2+m2)y2+6my+3=0,由=36m2-12(2+m2)0得m21,
6、又y1+y2=-,y1y2=,所以|DM|DN|=,故|DM|DN|为定值,且|DM|DN|=.4.解析(1)解法一:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=-=.因为a0,所以x(0,a)时,f (x)0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.所以f(x)min=ln a+1.又f(1)=ln 1+a=a0,所以当ln a+10,即00,则g(x)=-(ln x+1).当x时,g(x)0;当x时,g(x)0,则0e-x,即证明当x0,a时,ln x+e-x,即证明xln x+axe-x.令h(x)=xln x+a,x0,则h(x)=ln x+1.当0x时, f (x)时, f (x)0,所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.所以h(x)max=h=-+a.故当a时,h(x)-+a.令(x)=xe-x,则(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).当0x0;当x1时,(x)0时,(x).显然,不等式、中的等号不能同时成立.故当a时, f(x)e-x.
