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1、2010届高三数学精品讲练：排列、组合、二项式定理和概率一、典型例题例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图），要求在，个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。（1） 若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？（2） 若为乙着色时共有120种不同方法，求n。解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为、着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。因此 （1）为着色有6种方法，为着色有5种方法，为着色有4种方法，为着色也只有4种方法。 共有着色方法6544=480种 （2）与的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)由n
2、(n-1)(n-2)(n-3)=120 （n2-3n）(n2-3n+2)-120=0即(n2-3n)2+2(n2-3n)-1210=0 n2-3n-10=0 n=5例2、计算下列各题： （1） （2） （3）解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= =例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？（1） 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2） 平均分成三份，每份2本；（3） 甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；（4） 分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（5） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；（6） 分成三份，一份4本，另两份每份1本；（7） 甲得1本
3、，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）解：（1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7）评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法
4、共有（种）例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展开式中x5的系数。 解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6 =(8-x3)(x6-2C61x5+(-2)2C62x4+(-2)3C63x3+(-2)4C64x2+ 含x5的项为-28C61x5-(-2)4C64x5=-336x5 x5的系数为-336例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。（1） 求展开式里所有的x的有理项；（2） 求展开式里系数最大的项。解：（1） 由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0r8 r=0，4，8，故x的有理项为，（3） 设第
5、r+1项的系数tr+1最大，显然tr+10，故有1且1 由1得r3又 由1得：r2 r=2或r=3所求项为和例7、设a1，nN，且n2，求证：证明：设，则(x+1)n=a欲证原不等式，即证nx0 即(x+1)nnx+1，原不等式成立。评注：由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1） 取到的2只都是次品；（2） 取到的2只中正品、次品各一只；（3） 取到的2只中至少有一只正品。解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法 （1
6、）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为 （2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为 （3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：（1） 恰有1人译出的密码的概率；（2） 至多1人译出的密码的概率；（3） 若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码
7、”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F。 （1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。 （2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的 （3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得： 解得：n=16例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1rn）的概率。解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n
8、-r根取自另一盒火柴。由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：同步练习（一） 选择题 1、某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有A、60种 B、112种 C、242种 D、672种2、某同学从6门课中选学2门，其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有A、8种 B、13种 C、12种 D、9种3、如图，在某城市中，M、N两地间有
9、整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有A、13种 B、15种 C、25种 D、10种4、将n个不同的小球放入n个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是A、 B、 C、 D、5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+a8x8+a9x9，则a1+a2+a8的值为A、-1 B、-2 C、-512 D、5106、 展开式中，x4的系数为A、-40 B、10 C、40 D、457、的展开式中无理项的个数是A、84 B、85 C、86 D、878、的展开式中系数最大的项是A、第3项 B、第4项 C、第2或第3项 D、第3或第4项9、掷三颗骰子（各面上
10、分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是A、 B、 C、 D、10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.02711、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是A、0.4，1 B、（0，0.4 C、（0，0.6 D、0.6，1）12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率
11、是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则A、P1P2 B、P1=P2 C、P1P2 D、P1=2P213、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为A、3 B、4 C、5 D、614、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36，则q的值为A、 B、 C、 D、（二） 填空题15、空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点最多可决定_个不同的平面。16、(4+2x+x2)(2-x)7展开式中x5的系数为_。17、=_。18、有1个数字难题，
12、在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则：（1） 两人都未解决的概率为_；（2） 问题得到解决的概率为_。19、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中1个是正确的，3个是错误的，某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答，那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是_。（三） 解答题 20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课，如果第1节不排体育，最后1节不排数学，那么共有多少种不同的排课表的方法。21、有甲、乙、丙三位老师，分到6个班上课：（1） 每人上2个班课，有多少种分法？（2） 甲、乙
13、都上1个班课，丙上4个班课，有多少种分法？（3） 2人各上1个班课，1个人上4个班课，有多少种分法？ 22、在x(1-x)k+x2(1+2x)8+x3(1+3x)12的展开式中，含x4的系数是144，求k的值并求出含x2项的系数等于多少？23、某气象站天气预报的准确率为80%，求： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率（结果保留2位有效数字）。24、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：（1） 事件A：指定的4个房间各有1人；（2） 事件B：恰有4个房间中各有1人；（3） 事件C：指定的某个房间中有2人；（4） 事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人。25、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8，0.7，从两批种子中各取1粒，求： （1）2粒种子都能发芽的概率； （2）至少有1粒种子发芽的概率； （3）恰好有1粒种子发芽的概率。26、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0r，r1），且各个元件能否正常工作
