南京大学年数学分析考研试题及解答

《南京大学年数学分析考研试题及解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京大学年数学分析考研试题及解答（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、南京大学 2010 年数学分析考研试题及解答南京大学 2010 年数学分析考研试题及解答编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（南京大学2010 年数学分析考研试题及解答）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈， 这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以 下为南京大学 2010 年数学分析考研试题及解答的全部内容。1n 3 p ( ) p 3 南京大学

2、 2010 年数学分析考研试题及解答 南京大学 2010 年数学分析考研试题一设 a =1 ， a1 n +1= 1 +a 说明 a的收敛性,并求极限。 n n二确定 a ， b 的值,1 +1nna b =e + + +On n 21 , (n+)。三计算积分p20x 2sin 2 xdx。四计算 x y z dydz + dzdx + dxdyr 3 r 3 r 3，其中 =(x,y,z):x+ y + z =1，r= x 2 +y 2 +z 2，方向向外.五设正项级数 a 收敛，证明级数 nna an n +1a2 n -1收敛.n =1 n =1六设 f (x)在0,p上连续，且在x

3、=0 处可导,证明lim n 0f (x)12+cos x +cos 2 x + +cos nx dx = f 0 2.七映射 f : R n R二阶连续可微,且 Hesse (f)I， I 为 n 阶单位方阵，n n证明：f : Rn Rn可逆，且逆映射光滑,其中f =f f, , ,x x1 2fxn为 f 的梯度。八设函数 f (x)在a,b上连续，在一个可数集之外可导,且导数非负，证明 f (a)f(b).九设f(x)在a,b上二阶可导,f(a)= f(b)=0，证明:存在 x(a,b)，使得baf (x)dx=f(x) 12(a-b).2n 解 由 2 3 n n n 2n南京大学

4、2010 年数学分析考研试题及解答南京大学 2010 年数学分析考研试题解答一解 方法一显然a 1 ， an n+1 2 ， (n=1,2,3,)，an +1-a = 1 +a - 1 +an n n -11=1 +a + 1 +a n n -1a -an n -112a -an n -1, (n=2,3,),于是 an是压缩数列，从而an收敛，设lim a =a ， a 2 ， nn则有a = 1 +a，a2-a -1 =0 ， a =1 + 52。方法二显然a = 2 2 2，a a12，由归纳法，知1 an +10充分小， : xe2+y2+z2=e2，利用高斯公式，则有x y z dydz + dzdx + dxdyr 3 r 3 r 3=x y z dydz + dzdx + dxdyr 3 r 3 r 3=1e2xdydz +ydzdx +zdxdy=1e23dxdydzx +y +z e=1e24 3pe23=4p.五证明 利用几何平均算数平均不等式，na an n +1a2 n -1=n1n (n+1)(2n-1)nnan(n+1)an +1(2n-1)a2 n -1n1n (n+1)(2n-1)na +(n+1)a+n n +1n+(2n-1)a2 n -11 na +(n+1)a+ n n+(2n-1)a52 n -