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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（课标卷，含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 集合，则（ C ） （A） （B） （C） （D） 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ）（A） （B） （C） （D） 3. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ B ）（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件4. 已知圆，过点的直线，则（ A ）（A）与相交 （B） 与相切 （C）与相离 （D） 以上三个选项均有可能5. 如图，在空间直角坐标系
2、中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ A ）（A） （B） （C） （D） 6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（ B ）（A） ，（B） ，（C） ，（D） ，7. 设函数，则（ D ）（A） 为的极大值点 （B）为的极小值点（C） 为的极大值点 （D）为的极小值点 8. 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ）（A） 10种 （B）15种 （C） 20种 （D） 30种9. 在中，角所对边的长分
3、别为，若，则的最小值为（ C ）（A） （B） （C） （D） 10. 右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）（A） （B） （C） （D） 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 观察下列不等式，照此规律，第五个不等式为 .12. 展开式中的系数为10， 则实数的值为 1 。13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。14. 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 2 。15. （考生注意：请在下列三题中任
4、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 -2a4 。B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，垂足为F，若，则 5 。 C.（坐标系与参数方程选做题）直线与圆相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16.（本小题满分12分） 函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（）求函数的解析式；（）设，则，求的值。17.（本小题满分12分）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的公比；（）证明：对任意，成等差数列.18
5、. （本小题满分12分）（）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）19. （本小题满分12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（）求椭圆的方程；（）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.（）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分） 设函数.（）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
