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1、空间几何体的表面积和体积预习提纲1平面展开图2概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：3面积公式：S直棱柱侧 S正棱锥侧 S正棱台侧 S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧 S球面 相互间的关系：4体积公式：V长方体 V柱体 V锥体 V台体 V球 相互间的关系：空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17109，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长. 例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45角，求此棱锥的侧面积与全面积.例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？例4：假设正棱锥的底面边长为a，
2、侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积. 例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱全面积的例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.练习：1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 例9：半径为R的
3、球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17109，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长. 分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、 9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求a呢？生设底面三边长分别是17a、10a、9a,S侧（17a10a9a）16576a设17a所对三角形内角，则cos，sinS底10a9a36a2576a72a21440 解得：a2三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm.师此题中先设出参数a，
4、再消去参数，很有特色.例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如图所示，设正三棱锥SABC的高为SO，斜高为SD，在RtSAO中，AOSAcos45AOADa SAa在RtSBD中SDS侧3aSDa2. S底a2S全（）a2例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥ABCD的体积即可.解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积为 ShSh.三棱锥ABCD的体积为Sh4ShSh.正
5、三棱锥ABCD的体积是正方体体积的.例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.解：如图所示，在正四棱锥PABCD中，ABa，PB2a，作PO底面ABCD于O.连结BD，则OBD，且POBC，由ABa，得BDa，在RtPAB中，PO2PB2BO2（2a）2（a）2POa，S对角面POBDa2.又作PEBC于E，这时E是BC的中点PE2PB2BE2（2a）2（a）2PEa S侧4PEBCa2对角面面积为a2,侧面积为 a2. 例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱全面积的证明：（1）设球的半径为R，
6、则圆柱的底面半径为R，高为2R，得S球4R2，S圆柱侧2R2R4R2 S球S圆柱侧（2）S圆柱全4R2+2R26R2 S球4R2S球S圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为 ，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a. r1r2r31 S1S2S3123例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆O，且O为SAB的内切圆.设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为
7、R，则S锥全r2rl，S球4R2，r2rl8R2又SOESAO1由得：R2r2代入得：r2rl8r2，得：l3r圆锥侧面积与底面积之比为31.练习：1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1.设球的半径O1OR，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有OBO1Ocot30RSOOBtan60R3RV球R3,V柱R22R2R3V锥（R）23R3R3V球V柱V锥 469师以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体ABCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意BO1aa，AO1a又BO2BO12OO12，R2（ aR连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r,VOBCDVOABCVOACDVOAOBVOBCDrrV小球V大球（R）3R3127内切球与外接球的体积比为127.- 6 -
