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1、 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判别 法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法一无穷积分的性质由定义知道，无穷积分j心f G认收敛与否，取决于函数F(u) =jf G认在u+8时是否存在极aa限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理11.1无穷积分j心f G认收敛的充要条件是：任给 0,存在G3a,只要u1、u2G, aj u2 f
2、 (x)dx -jui f (x)dx = j u2 f (x)aa%证明：由于8f (x认=limjuf Gdx=limF(u),所以u1aa广U T+8j+8 f (xdx 收敛 o limF(u)存在 o V 0,3G ma,U +8只要u1、u2G,便有U +8此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质1 (线性性质)若j+8 f (xx 与 j+8 f (x)Zx12aa都收敛，kk2为任意常数，则便有+ k f (x )dx 也收敛，且22j+8 k f (x) 11 aj+8 k f (x)+ k f (x)Lx = k j+8 f (x)ix
3、+ k j+8 f (x)ix。221122aaa证明：记 J = j+8 f (x认=limju f (xdx, J = j+8 f (x认=limju f (x认,111222aaaa广_ u T+8 .u T+8则 j+8 k f (x)+ a 1 111k 2 f2u +8 a(x)Lx =limju k f (x)+ k f (x)dx 1- 1 12 2au t+8 尸_limk ju f (x)dx +k ju f (x)dx1122aau t+8 尸=k limju f (x)dx +k limju f (x)dx1122aau T+8=k J + k J = k j1 12
4、2+81a(1)性质2若f在任何有限区间a, u上可积aVbu T+8f (x)dx + k j+8 f (x)dx,12 a 2则j+8 f (xbx与j+8 f (xbx同敛态(即同时收敛ab或同时发散)，且有j+8 f (x)ix = jb f (x)ix + j+8 f (x)ix，其中右边第一项是定积分。f+co f Glzx收敛=limy （尤认存在.aa w+oo又 limju f=lim（Jb f x）dx+11 f （尤）公）aab“T+oop“T+oop= ibf （x）dx + limj f x）dx,其中右边第一项是定积分。 abu-+oo+Mf（x）dx与认同敛态（即
5、同时收敛或同时发散）,且有 ab证明：由于所以f+co f G 认=b f Glzx + f+co f（x）dx. aab说明： 性质2相当于定积分的积分区间可加性；+aj f（x）dx收敛的另一充要条件：任给 0,存在G3a,（2）由性质2及无穷积分的收敛定义可推出当uG时，总有|f+c/(x) Q,BGa,o Ve Q,BGa,=Ve 0,BGa,au-+淬当 uG 时,J / x)dx 一 J Z7G时,G 时 J j+ f (x)t/x 0,存在GNa,当u2UiG时，总a利用定积分的绝对值不等式，又有if m2 f （尤认| f M2 |y Q）px s% %再由柯西准则（充分性）,
6、证得jg/G爪收敛a又因uf（x）dx tz）,令u+8取极限，立刻得到不等式（3）. I aa当j+ f（xix收敛时，称j+ f（x）dx为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。aa性质3指出：绝对收敛n收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛（本节例3中当OVpW 1时j+8西条件收敛）。1 XP二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。由于 j u|f (x dx关于上限 u是单调递增的，因此j+3 f (xdx收敛的充要条件是uf (xdx存在上界。根 aaa据这一分析，便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明)：
7、定理11.2 (比较法则)设定义在a, +8上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间a, u可积，且满足If G )0,使得u T+3u T+3ju|f (xdx 1 ug(x)dx = G(u) 0,存在Ga，当u2u1G时， a总有又| f (x)| g(x), Vx ea, +3).因此有 ju2| f (x)| dx ju2 g (x)dx 0,且limg (x) = G，则有x +3同敛态;(i)当 0VcV+8 时，j+3 |f (x )dx 与 j+3 g (x )dx(ii) 当c=0时，由Ag (x)dx收敛可推知Plf (x射也收敛；(iii) 当c=+8时，由j+8g
8、(x)dx发散可推知心|f (xMx也发散。证明(i) lim= C, c e (0,+8).对 = c, BM a,当 x M 时，I | f (x) | - c l C,即g (x)0 2g (x)2xT+3C I f (x)l 3c 0,3M a,当 x M 时，1 f (x) | ,从而I f (x) 0,3M a,当 x M 时，亶黑 G,从而 I f (x) l Gg (x), x g(x)g (x)从而由比较法则结合性质2知，由心g(x)dx发散可推知If (xx也发散.当选用心竺作为比较对象心g(x)dx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判别 a xpa法)。
9、推论2设f定义于a，+8)(a0),且在任何有限区间a, u上可积，则有:(i)当 If Qv4xpxG a, +8)，且pi时心|f (x认 收敛;a(ii)当 If G )xpxG a, +8)，且 pWi 时+8|f (xx 发散。a推论3设f定义于a, +8)，在任何有限区间a，u上可积，且lim xp |f (x)| =人,x+8则有:(i)(i)当 p1，0W 人 V+8时，j+8|f (xx 收敛;当 pW1，0V 人 W+8时，j+8|f (xx 发散。a讨论下列无穷限积分的收敛性：1)j+8 xe-xdx ；12) -rxL=dx.解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对
10、收敛是同一回事。1)由于对任何实数a都有limx 2 .xae - x = lim y = 0exx T+3因此根据上述推论3(P=2,=0)推知1)对任何实数a都是收敛的。2)由于xT+81因此根据上述推论3(P=-推知2)是发散的。对jb If (xx的比较判别亦可类似地进行。 -8三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。定理11.3 (狄利克雷判别法)若F (u) = juf (xx在a, +8)上有界，g (x)在a, +8)上当x-+-时 a单调趋于0,则j+8 f (x )g (x认收敛。a证明由条件设juf (x认aWM, uG a, +8)。任给 0,由于limg (x) =0,因此存在 Ga，当 xx T+3G时，有g (x)V 4M。又因g为单调函数，利用积分第二中值定理(定理910的推论)，对于任何u2u1G存在&仁叫，u2，使得ju2 f (xG)dx = g (u )j，f (x)ix + g (u )ju2 f (x)ix。u11 u12 ，于是有=|g (u ) j，f (x)7x - ju1 f (xdx + |g (u ) -
