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1、人教版高中数学必修精品教学资料第二章 平面向量1向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图,对同学们是一个难点,这里对其作图方法作出细致分析,以求尽快掌握.一、向量a、b共线例1如图,已知共线向量a、b,求作ab.(1)a、b同向；(2)a、b反向,且|a|b|；(3)a、b反向,且|a|b|.作法在与a平行的同一条直线上作出三个向量a,b,ab,具体作法是：当a与b方向相同时,ab与a、b的方向相同,长度为|a|b|；当a与b方向相反时,ab与a、b中长度长的向量方向相同,长度为|a|b|.为了直观,将三个向量中绝对值最大的向量沿与a垂直的方向稍加平移,然后分别标上a,b,ab.作图如下：例2
2、如图,已知共线向量a、b,求作ab.(1)a、b同向,且|a|b|；(2)a、b同向,且|a|b|；(3)a、b反向.作法在平面上任取一点O,作a,b,则ab.事实上ab可看作是a(b),按照这个理解和ab的作图方法不难作出ab,作图如下：二、向量a、b不共线如果向量不共线,可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.例3如图,已知向量a、b.求作：(1)ab；(2)ab.作法1(应用三角形法则)(1)一般情况下,应在两已知向量所在的位置之外任取一点O.第一步：作a,方法是将一个三角板的直角边与a重合,再将直尺一边与三角板的另一直角边重合,最后将三角板拿开,放到一直角边过点O,一直角边与直尺的一边
3、重合的位置,在此基础上取|a|,并使与a同向.第二步：同第一步方法作出b,一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把作成与b的方向相反.)第三步：作,即连接OB,在B处打上箭头,即为ab.作图如下：(2)第一步：在平面上a,b位置之外任取一点O；第二步：依照前面方法过O作a,b；第三步：连接AB,在A处加上箭头,向量即为ab.作图如下：点评向量加法作图的特点是“首尾相接,首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点,连终点,箭头指被减”.作法2(应用平行四边形法则)在平面上任取一点A,以点A为起点作a,b,以AB,AD为邻边作ABCD,则ab,ab.作图如下：点评向量的平行四边形法则和三角法则
4、在本质上是一样的,但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性,因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图,要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同,长度相等”,最忌讳的是“作法不一”,比如作法中要求的是作b,可实际上作的是b.只要作图的过程与作法的每一步相对应,一定能作出正确的图形.2向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算,在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时,要准确利用对应的运算法则、运算律,注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1 化简下列各式：(1)(2)(2)；(2)3(2a8b)6(4a2b).解(1)(2)(2)22222()()2.(2)3(
5、2a8b)6(4a2b)(6a24b24a12b)(18a36b)ab.点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”,通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”,满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简,解题时要注意观察是否有这两种形式出现,同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算,可类比实数积的运算方法进行,将向量a,b,c等看成一般字母符号,其中向量数乘之间的和差运算,相当于合并同类项或提取公因式,这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2 如图,已知ABC和点M满足0,若存在实数m使得m成立,则m_.解析如图,因为0
6、,即(),即,延长AM,交BC于D点,所以D是BC边的中点,所以2,所以,所以23,所以m3.答案3点评求解含参数的向量线性运算问题,只需把参数当作已知条件,根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示,列出向量方程,对比系数求参数的值.三、表示向量例3 如图所示,在ABC中,DEBC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于点N,设a,b,用向量a,b表示、.解因为DEBC,所以b,ba,由ADEABC,得(ba),又M是ABC底边BC的中点,DEBC,所以(ba),aa(ba)(ab).点评用已知向量表示另外一些向量,应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中,利用
7、向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质,如三角形中位线性质,相似三角形对应边成比例等,再利用向量加法、减法法则,即可用已知向量表示所求向量.3平面向量的基本定理应用三技巧技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式,用“若e1,e2为基底,且ax1e1y1e2x2e1y2e2,则用来求解.例1在OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使|13,|14,设线段AN与BM交于点P,记a,b,用a,b表示向量.解B,P,M共线,存在常数s,使s,则.即ab.同理,存在常数t,使t,则ab.a,b不共线,解之得,ab.点评这里选取,作为基底,构造在此基底下的两种不同的表达形式,再根据相同基底的
8、系数对应相等得到实数方程组,最后进行求解.技巧二构造两个共线向量在同一基底下的表达形式,用“若e1,e2为基底,ax1e1y1e2,bx2e1y2e2,且ab,则x1y2x2y10”来求解.例2如图,在OAB中,AD与BC交于点M,设a,b. (1)用a、b表示；(2)已知在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设p,q,求证：1.(1)解设manb,则(m1)anb,ab.点A、M、D共线,与共线,(m1)(1)n0,m2n1.而(m)anb,ab.C、M、B共线,与共线,n(m)0.4mn1.联立可得m,n,ab.(2)证明(p)ab,paqb,与共线,(p)q(p)0.
9、qpqp,即1.点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式,再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三将题目中的已知条件转化成1e12e20的形式(e1,e2不共线),根据120来求解.例3如图,已知P是ABC内一点,且满足条件230,设Q为CP的延长线与AB的交点,令p,试用向量p表示.解,()2()30,3230,又A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,3230,(2)(33)0.而,为不共线向量,2,1.故22p.点评这里选取,两个不共线的向量作为基底,运用化归与转化思想,最终变成1e12e20的形式来求解.4直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有
10、力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行,学习中对它们的认识还不到位,重视程度还不够,下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.一、直线的方向向量1.定义设P1,P2是直线l：AxByC0上的不同两点,那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量,若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则的坐标为(x2x1,y2y1)；特别当直线l与x轴不垂直时,即x2x10,直线的斜率k存在时,那么(1,k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时,方向向量可为(1,0)；而无论斜率存在与否,其方向向量均可表示为(B,A).2.应用(1)求直线方程例1已知三角形三
11、顶点坐标分别为A(2,3),B(7,9),C(18,9),求AB边上的中线、高线方程以及C的内角平分线方程.解求中线方程由于(25,0),(16,12),那么AB边上的中线CD的方向向量为(41,12),也就是,因而直线CD的斜率为,那么直线CD的方程为y9(x18),整理得12x41y1530.求高线方程由于kAB,因而AB的方向向量为,而AB边上的高CEAB,则直线CE的方向向量为,那么高线CE的方程为y9(x18),整理得3x4y180. 求C的内角平分线方程(1,0),则C的内角平分线的方向向量为,也就是,因而内角平分线CF的方程为y9(x18),整理得x3y90.点评一般地,经过点(
12、x0,y0),与直线AxByC0平行的直线方程是A(xx0)B(yy0)0；与直线AxByC0垂直的直线方程是B(xx0)A(yy0)0.(2)求直线夹角例2已知l1：x3y150与l2：y3mx60的夹角为,求m的值.解直线l1的方向向量为v1(3,1),直线l2的方向向量为v2(1,3m),l1与l2的夹角为,|cosv1,v2|,化简得18m29m20.解得m或m.点评一般地,设直线l1：yk1xb1,其方向向量为v1(1,k1),直线l2：yk2xb2,其方向向量为v2(1,k2),当1k1k20时,两直线的夹角为90；当1k1k20时,设夹角为,则cos ；若设直线l1：A1xB1y
13、C10,其方向向量为(B1,A1),直线l2：A2xB2yC20,其方向向量为(B2,A2),那么cos .二、直线的法向量1.定义直线AxByC0的法向量：如果向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v,则nv0,从而对于直线AxByC0而言,其方向向量为v(B,A),则由于nv0,于是可取n(A,B).2.应用(1)判断直线的位置关系例3已知直线l1：axy2a0与直线l2：(2a1)xaya0.(1)若l1l2,求实数a的值；(2)若l1l2,求实数a的值.解直线l1,l2的法向量分别为n1(a,1),n2(2a1,a),(1)若l1l2,则n1n2a(2a1)(1)a0,解得a0或a1.a0或1时,l1l2.(2)若l1l2,则n1n2,a2(2a1)(1)0.解得a1,且2.a1时,l1l2.点评一般地,设直线l1：A1xB1yC10,l2：A2xB2yC20,它们的法向量分别为n1(A1,B1),n2(A2,B2),当
