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1、数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：an i an d (d 为常数)，an a1 n 1 d等差中项：x. A, y成等差数列2A x y印 an nn n 1刖n项和Sn - -nqd2 2性质：an是等差数列(1) 若 m n p q，贝U am an ap aq;(2) 数列a2n1 ,a2n,a2n 1仍为等差数列，Sn,S2nSn,&nS2n仍为等差数列，公差为n2d ;(3) 若三个成等差数列，可设为a d，a, a d(4) 若an，bn是等差数列，且前-项和分别为Sn，Tn，则勺 bm T2m 1(5) an为等差数列Sn an2 bn ( a, b为常数，
2、是关于-的常数项为0的二次函数)Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出 a.中的正、负分界项，a o即:当a1 0, d 0,解不等式组n可得Sn达到最大值时的-值.an 10a 0当a1 0, d 0,由n可得Sn达到最小值时的-值.an 10(6) 项数为偶数2n的等差数列an有S2n n(a1 a2n) n(a2 a?n 1)n(an an 1)(an,an 1 为中间两项)S偶 nd ,.S 偶 an 1(7) 项数为奇数2n 1的等差数列an有#S奇S偶2.等比数列的定义与性质定义:an 1q ( q 为常数，q 0), a.等比中项：x、G、y成等比数列 G2 x
3、y，或Gxyn q(q 1)前n项和：Sn a1 1 qn(要注意！)彳 (q 1)1 qan性质：an是等比数列(1)若 m n p q，贝U am- a. ap- aq(2)Sn，S2nSn，SsnS?n仍为等比数列,公比为q注意：由Sn求an时应注意什么?n 1 时，a13 ；n 2 时，anSnSn 1(1)求差(商)法122去1歹an 2n 5，求 a.女口：数列an1 ，-a12解n 1 时，1 a22 15，/. a114n1 12 时，一a 12 2a212“ 1 an 12n1 5得：X2，二an2n 1，二an14(n 1)2n 1( n 2)3 求数列通项公式的常用方法练
4、习数列an满足Sn Sn 15 an 1，a14，求a.3注意到an 1Sn，代入得詈又S 4，二Sn是等比数列，q 4nn 2 时，an Sn Sn 1 4(2)叠乘法如：数列an 中，a1an 1n3,，求anann 1解a2a3an扛n 1，二 an 1 又 a1 3 ,.3-ana?an 12 3nn(3)等差型递推公式由anan 1f(n), a1ao，求an，用迭加法a2 a,f (2)a a f(3)n 2时， 32两边相加得an印 f (2) f (3) f (n)an an 1 f (n)二 an ao f(2)f(3)f(n)练习数列an中，a,1,an 3n1an求ana
5、n(4)等比型递推公式ancan 1 d ( c、d 为常数,c 0,1,令(c 1)xd ,. xdc 1d anc 1ddn1 ana1canc 1c 1(5)倒数法如：a11，an 12an求I anan2由已知得：an2115*an 12an2an. 丄为等差数列，丄1,公差为ana1可转化为等比数列，设an x c an 1xan c% 1 c 1 x是首项为a1 , c为公比的等比数列c 1dn 1 da1cc 1c 11丄1an 1an21.11,11 ,n 1 _n 1 ,2an222-an附:公式法、利用anan 1pan q 或 an 1Si(n 1)Sn Sm( n 2)
6、、累加法、累乘法.构造等差或等比pan f (n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法如:an是公差为d的等差数列，求把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项1解：由11 11d0ak ak 1ak akdd akak 1.n 1 n1 1111 11 11 1k 1 akak 1k 1d akak 1da?a2a3anan1 1 1da1an 1练习求和：1 1111 212 3123nk 1 akak 1an ,Sn 2 n(2)错位相减法若an为等差数列,bn为等比数列，求数列anbn (差比数列)前n项和，可由S
7、n qSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn1 2x3x2 4x3n 1 nxx- 5x 2x23x3 4x4 n 1nn 1 xnx一1 X &1 x x2n 1n xnx#n nx1 xx 1 时，Sn 1 2 3n1 xx 1 时，Sn21 x#(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加Sna1Snana2an 1an 1a2an相加2Sna1ana2an 1aian练习已知f(x)则f(1) f(2)f(3)1由 f(x) f -xx21 x2x21 x21FT 1原式 f(1)f(2) f1f(4) f ；(附：a用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与
8、首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可米用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。 我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是 研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是 倒序相加法”b. 用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前 n项和Sn可直接用等差、等比数列的前 n项和公式 进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于 这个数列之后，再计算。c. 用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求
9、出数列的前n项和。d. 用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比， 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n项和。e用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条 件下，可把这个式子变成 an+i-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加 到一起，经过整理，可求出 an，从而求出Snof. 用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g. 用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)
