《因式分解的分类》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解的分类（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式， 因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01.下列四个从左到右的变形，是因式分解的是()A. (x +1)(x-1) 二x2 1B. (a一b)(m一n) = (b一a)(n一m)3C. ab一a一b +1 - (a一l)(b-1) D. m2一2m 3 = m(m 2 )m例02.在下面多项式中，能通过因式分解变形为-(3x-l)(x + 2y)的是()A. 3x2 + 6xy - x - 2 yb . 3x2 - 6xy + x - 2
2、yC. x + 2y + 3x2 + 6xyD. x + 2 y - 3x2 - 6xy二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数为正；公因式的系数和字母应分别考虑： 系数是各项系数的最大公约数； 字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01.在下面因式分解中，正确的是()A. x2y + 5xy-y 二 y(x2 + 5x) B. a(a-b-c) + b(c-a + b) + c(b-a + c) = (a-b-c)2C. x2(2-a) + x(a-2)二 x(2-a)(x-1)D. 2ab2
3、-4ab3 -ab 二 2ab(b2 -2b2 -1)例02.把-8x4y + 6x3y2 - 2x3y分解因式的结果为。例 03.分解因式： 一 3m3 一 6m2 + 12m例 04.分解因式：-6(x- y)3 +18(y - x)2 - 24(y - x)3.说明：观察题目结构特征对于(x 一 y)与(y 一 x)的符号有下面的关系：x - y = -( y - x),(x - y )2 = (y - x )2, (x - y )3 =-( y - x )3例 05.解方程：(12x + 6)(23x 18) + 6(1 + 2x)(13 23x) = 0例 06.不解方程组 n 3,
4、求：5n(2m n)2 2(n 2m)的值.14m + 3n 二 1,类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：a2 - b2 = C + b）C -冲注意：条件：两个二次幂的差的形式； 平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； 在用公式前，应将要分解的多项式表示成a2 b2的形式，并弄清a、b分别表示什么。 例如：分解因式：（1）19x2；（2）4a2169b2；（3）（m+n）24（mn）22、利用完全平方公式因式分解： a2 土 2ab + b2 = C 土b）2|注意：是关于某个字母（或式子）的二次三项式; 其首尾两项是两个符号相同的平方形式； 中间项恰是这两数乘积
5、的2倍（或乘积2倍的相反数）; 使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 a2 土 2ab + b2二（a 土 b）2公式原型，弄清a、b分别表示的量。例如：分解因式：1)16x+9x2； (mn)212(mn)+36 x2 + 8 x + 1612) m2 一3n23典型例题： 例 1 用平方差公式分解因式（1）9x2+（xy）2；说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数 例2分解因式：1) a 5b ab ；2) a4(m+n)b4(m+n).说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3判断下列各式能
6、否用完全平方公式分解因式，为什么？（1） a2 6a+9； （2） x28x+9； （3） 4x212x9；（4） 12xy+x2+36y2.说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4把下列各式分解因式： x2 +4x4； 42xy 49x2 9 y2 m 2 4n2 + 4mn说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号例 5 分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2. 24a2b2 6(a2 + b2)2说明：分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解 分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解
7、为止例 6 分解因式： (m 2n)2 6(2n m)(m + n) + 9(m + n)2 ； a4 一 8a 2b2 + 16b4 ；(m2 + 2m)2 + 2(m2 + 2m) +1. a4 一 14a2b3 + 49b6 9(2a b)2 6(2a b) +1说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，学会运用.例7若x2 + 2(a + 4)x + 25是完全平方式，求a的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b ”便可自如求解.11例8 已知a + b = 2，求一a2 + ab + b2的值
8、.22说明：将所求的代数式变形，使之成为a + b的表达式，然后整体代入求值.例 9 已知 x 一 y = 1, xy = 2，求 x3y 2x2y2 + xy3 的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式 分解，使之转化为关于xy与x - y的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1, 一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数 例11已知x和y满足方程组x + 2y二4，求代数式9x2 4y2的值。16 x 4 y 二 3类型三、分组分解法1、条件：当所给多项式有四项或四
9、项以上时，应釆用分组分解法。2原则：分组后能继续分解(即分组只是为实际分解创造备件，并没有直接达到分解的目的丿。3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为; 组内提公因式或运用公式； 组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一， 且灵活多变.例如： am+an+bm+bn ；(2)x2-y2+2x+1.例1选择题：对2m + mp + np + 2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是()(A) (2m + 2n + np) + mp(B) (2m + np) + (2n + mp)(C) (2m + 2n
10、) + (mp + np)(D) (2m + 2n + mp) + np说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2因式分解：(1) a2x + a2y + b2x + b2y ；(2) mx + mx2 -n -nx说明：(1)把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；(2) 分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；(3) 分组时要用到添括号法则，注意在添加带“一”的括号时，括号内每项要变号；例3分解因式：(1) 1- x2 + 4xy 4y2 ；(2) x2 一a2 + 2ab 一b2 ； a2 一 4b2 一 a 一 2b说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分
11、组的方法之一;。例4分解因式： 5 x 3 15 x 2 一 x + 3 7 x 2 3 y + xy 21x说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。例 5 把下列各式分解因式：(1) xy xz y2 + 2 yz z2 ；(2) a2 b2 c2 2bc 2a +1 ；(3) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y +1.说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有 了一定的针对性，省时提速.例 6 分解因式：(1) x(x一 1)(x一2) -6 ；(2) ab(x2 +1) + x(a2 + b2)说明：本组两题原题
12、本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去 括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”类型四、关于X2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解事实上：x2+(p+q)x+pq= (x2+px) + (qx+pq) =x(x+p)+q(x+p)= (x+p)(x+q),所以：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例 1 分解因式： a 2 一 5a + 6 ； m2 + 3m 一 10 .(3) x2 + x 2 ；(4) x2 2 x 15 .说明：本题属于x2 +(P + q)x + pq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解例 2 分
13、解因式：(1) (a + b)2 + 5(a + b) + 4；(2) p2 7pq + 12q2.例 3 分解因式： P2 + 5pq + 6q2 + p + 3q ； a2 4b2 + a + 2b + 4bc c2 c.说明：项数多时，要仔细观察项与项之间有着内在联系，通过巧妙分组以求突破作业 B：1. 若 x2+2(m-3)x+16 是完全平方式，则m的值等于()A.3B.-5C.7.D.7 或-12. 若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则 n 的值是()A.2B.4C.6D.83. 下列变形是否是因式分解？为什么？(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(4
14、)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(3) x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；4. 分解因式：4x2-9y2=.5. 已知 x-y=1,xy=2，则 X3y-2x2y2+xy3 的值为.6. 因式分解：-X3z+X4y 36aby-12abx+6ab 3x(a-b)+2y(b-a) x(mx)(my)m(xm)(ym)(7m8n)(x+y) (3m2n)(x+y) a(xy)2+b(yx)3+c(yx)27. 分解因式： l-x2+2xy-y2( x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.8.计算下列各题.(1)234X265-234X65;(2)992+198+1.12 22 32 42 52 62 + + +1 + 23 + 45 + 620032 20042+2003+2004 .(4)5 X 34+24 X 32+63 X 39.若a, b, c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状.10求证：对于任意自然数 n ， 3n+2 2 n+3 + 3n 2 n+1 一定是 10
