《12号,映射,代数运算和关系,作者;数04-3吐尔孙江斯依提指导老师;阿布力米提艾买提,成绩;良》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12号,映射,代数运算和关系,作者;数04-3吐尔孙江斯依提指导老师;阿布力米提艾买提,成绩;良（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2010届本科毕业论文讨论积分第二中值定理学生姓名： 艾尼萨依提 学 号： 20050601150014 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2005-4班 指导教师： 艾力夏提 2本文简要本文 关键词： 映射，满射，单射，双射，逆映射，象，逆象，代数运算，二元运算，关系，二元关系，元关系。目录本文简要1目录2引言31.以映射为基础，解释代数运算与关系是映射的一种特殊情形3定义1.1：3定义1.2：5定义1.3：5定义1.4：6定义1.5：72. 以关系为基础，解释代数运算和映射是关系的一个特殊形式8定义2.1：8定义2.2：9总结10参考文献11致谢12引言 我们从中学开
2、始学习映射，集合与集合之间的关系，以及代数运算等一些概念。这些概念在数学各个分支中有广泛的应用。掌握好这些对每个数学教育者来说，不可缺少的。我在本文中主要介绍这三个概念之间的内在联系。希望对读者有所帮助。1.以映射为基础，解释代数运算与关系是映射的一种特殊情形不管是哪一个数学，映射都占者非常重要的地位。我们在高等代数与代数研究里面已经学过映射概念。现在我给比较一般的定义。我们看个集合与另一个集合。定义1.1：假若通过一个法则，对任何一个的元素都能得到一个唯一的的元，哪么这个法则叫做集合到集合的一个映射。元素叫做元在映射之下的象，元叫做元在之下的原象。一个映射我们常用以下符号来表示:从这儿可以看
3、出，映射由一个法则，象和原象组成的。例1.已知,求出到的一个映射。解,即里面一共有100个元素。设所求的映射我们用来表示，并且 规定：，其中，这符合于映射的定义。这样的表示法有好几种：方法一： 方法二：方法一与方法二是最常用的两种方法。所说映射的重要性主要表现在双射这个方面。比若：中学数学的求反函数法，就是求已知映射的逆映射而已，在大学里面，实变函数中的集合基数问题等。 下面给他定义：定义1.2：如果在一个集合到集合的映射之下，的每一个元都至少是中某一个元的像，哪么就称为到的满射。如是到的一个映射，并且里面任取两个元素，则就称为到的单射。如果在一个集合到集合的映射，既是满射又是单射，那么这个就
4、叫做集合与集合间的双射（一一映射）。 我们都知道，在中学中的运算大都是在数中进行的，若数的加，减，乘，除等。 数的运算是一种对应；即给每两个数都规定一个唯一的数与之对应。也就是一个映射。如整数的加法是的映射，有理数的除法是 的映射。这种对应有时也可以用一个表来确定，如九九乘法表等。将数的运算推广到一般集合，就得到带有运算的集合，即代数运算。我们看 个集合 的另一个集合 。定义1.3：一个集合 到集合 的映射叫做 到 的一个代数运算（ 元代数运算 ）。比如说：在 维欧氏空间中的一个向量 来说，求它的模儿，实际 非负实数集合的一个代数算，即 ，其中（是非负实数）。是 到非负实数集合的一个代数运算。
5、 实际上 元代数运算用得不多，最常用的是二元代数运算。下面给他一个定义：定义1.4：假如 是一个 到 的代数运算，我们就说集合 对于代数运算 来说闭的，也说 是 的 代数运算或二元代数运算。比如： 表示 到 的代数运算。 在这个运算表中可以看出 的每一个元来说进行 代数运算后，所得的结果仍在 中，这符合于二元运算的定义，于是我们把 叫做 到 的上的一个代数运算。从代数运算的定义来看,(不管是 元代数运算或二元代数运算)都是映射的特殊情况。所以我们可说：代数运算是一种特殊地映射而已。有时候我们除了对两个集合进行比较外，把一个集合分成若干个子集加以讨论。这时我们需要引入“关系”这一概念。我们看集合
6、 与另一个集合 , 只包含两个元素，就是“对”和“错” 。定义1.5：集合 到 的一个映射 叫做 上的关系（ 元关系）。其中 如果 对，则 适合关系 。若 错，则 不适合关系 。由定义可知 （ 元关系）关系是特殊地映射，因为集合 是一个特殊地集合。特殊地在 中 时，即 到 的映射 叫做 上的关系（二元关系）。若 时候这个 叫做 的元间的二元关系。例2已知集合 , 则求 上的一个二元关系。 解： ，则 共有25个元素 。这里的映射我们用来表示的话，则规定： 对， 若 错， 若，其中 符合条件的元素集合：答：这里的是上的一个二元关系。很显然 是一个特殊地映射 。因此可知，映射，代数运算和关系有着密
7、切的联系。映射是定义代数运算和关系的前提条件，即映射是定义代数运算和关系这两个概念的基础，所以代数运算和关系是映射的一种特殊形式。2.以关系为基础，解释代数运算和映射是关系的一个特殊形式 数学中的“关系”是一个非常重要的概念，它在计算科学中有广泛应用，并且起着重要作用。关系是一个集合，在数学中表示二个元素之间的关系称为“二元关系”，表示三个元素及三个以上元素之间的关系称为多元关系。在这里我们讨论 元关系与二元关系。定义2.1：设 是 个集合， 的一个子集 叫做 上的关系（ 元关系）。若当 时，则 适合关系 。若当 时，则 不适合关系 。特别地，当 时，即 的子集 叫做 上的关系（二元关系）。若
8、 时， 叫做 的元素之间的二元关系。比如：在平面上的任何一个区域是整个平面的一个子集，由定义可知，这个区域也是一个 上的二元关系。在空间中，任何一个立方体都是 的一个子集，于是它也是一个 上的三元关系。现在我们讨论映射这个概念，即在关系的基础上讨论映射。 映射的一般定义我们已经看过，我们仔细地观察映射的定义，就会发现，它是二元关系的特殊情况，下面我关系的基础上给它定义。 定义2.2：设 一个关系，且 ，使得 ，则这个 叫做 到 的映射。 若定义中的 时，这个 是我们在近世代数里面所学的映射的一般定义。 因此，映射的一般定义是二元关系的特殊情况，又因为二元关系是 元关系的特殊情况，从此可以推出，
9、映射是关系的特殊情况。 我们知道代数运算是映射的特殊情况，映射也是关系的一种特殊情况。 所以代数运算与映射是关系的特殊情况。总结映射，代数运算与关系是相互联系的，相互离不开的三个概念。在映射的基础上代数运算与关系是一种特殊形式的映射。在关系的基础上，映射，代数运算是一种特殊形式的关系。所以，以后遇到关于这三个概念的问题时，好好区别它们。参考文献1 张禾瑞。近世代数M。高等教育出版社。 1987年5月。第一版 （4页-7页，27页）。2 耿素云，屈婉玲。 离散数学M。高等教育出版社。2004年1月。第二版 （112页-181页）。3 孙吉贵，扬凤杰，欧阳丹彤，李占山。 离散数学M。高等教育出版社
10、。2002年8月。第一版 （7页-8页）。4 王萼芳，石生明。 高等代数M。高等教育出版社。2003年7月。第三版（239页-242页）。5 张奠宙，张广祥。 中学代数研究M。高等教育出版社。2006年1月。第一版（97页-98页）。6 科尔曼。离散数学结构M。北京清华大学出版社。7 严士建。离散数学初步M。北京科学出版社。致谢我在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。在阿布力米提艾麦提老师的热心帮助和耐心地指导下我的毕业论文已经顺利通过，他帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步聚：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。我非常感谢指导教师的热心和细心的帮助也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作打下了良好的基础。此致 敬礼 吐尔孙江斯依提 2009年4月 24 日
