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1、安徽省淮北市第五中学高考数学总复习 数列求和及其综合应用知识梳理【知识网络】数列前n项和公式法错位相减倒序相加裂项相消分组求和综合应用与函数、方程、不等式等与几何、实际问题等【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通
2、项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1. 若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.解析：由韦达定理得，得 ， 数列与均成等比数列，且公比都为，由，得,(
3、I)当为偶数时，令（）,.(II)当为奇数时，令（）， .举一反三：【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】【变式1】已知数列和满足：，其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；解析：（）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，必然满足由得，显然矛盾，即不存在实数使得数列是等比数列。（）根据等比数列的定义：即又所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.【变式2】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且kN*，k2。（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数
4、列的首项a1=13，且满足，求数列及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：，数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；又因，而，所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为18。类型二：数列与不等式例2.设数列an的前n项和Sn满足Sn+1a2Sna1，其中a20. （I）求证：an是首项为1的等比数列；（II）若a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件.解析：（）证明：由S2a2S1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1因a20，故a11
5、，得又由题设条件知Sn2a2Sn+1a1，Sn1a2Sna1两式相减得，Sn+2Sn+1a2(Sn+1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an+10，因此综上，对所有nN成立从而an是首项为1，公比为a2的等比数列。 （II）证明：当n1或n2时，易知，等号成立，设n3，a21且a20，由（）知，a11，ana2n1，所以要证的不等式化为1a2a22a2n1(1a2n1)（n3）即证：1a2a22a2n(1a2n)（n2）当a21时，上面不等式的等号成立；当1a21时，a2r1与a2nr1（r1,2，n1）同为负；当a21时，a2r1与a2nr1（r1,2，n1）同为正。因此当a21且a2
6、1时，总有(a2r1)(a2nr1)0即a2ra2nr1a2n(r1,2，n1)上面不等式对r从1到n1求和得2(a2a22a2n1)(n1)(1a2n)由此得1a2a22a2n综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立。举一反三：【变式1】在数列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1，. (1)证明数列an-n是等比数列； (2)求数列an的前n项和Sn； (3)证明不等式，对任意皆成立.解析： (1)证明：由已知， 又a1-1=1，数列an-n是首项为1，公比为4的等比数列(2)解：由(1)可知an-n=4n-1， an=4n-1+nSn=a1+
7、a2+an=(40+1)+(41+2) +(4n-1+n) = (3)证明：对任意- =n1， n-10，3n+40即Sn+14Sn【变式2】已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.()求q的值；()设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：()由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或，()若q=1，则当n2时，若当n2时， 故对于nN+，当2n9时，Snbn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Snbn.【变式3】设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解析：（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是
