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1、数学竞赛中的双曲线问题例1（2000年全国高中数学联赛）已知点A为双曲线的左顶点，点B和C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是( ) A. B. C.3 D.6分析：由于ABC是正三角形，故点B和C为过点且倾斜角分别为30和150的直线与双曲线的交点，可用解方程组来解决。解：不妨设点在由上方，则直线由解得，同理得，故三角形面积为。PF2F1图1例2 (1999年全国高中数学联赛) 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是： 。 分析：由“P到准线的距离和焦点的距离”可想到利用第二定义来解决，不过要注
2、意要对P点的位置讨论。解：由题意知,，右准线方程为：，设点P到右准线的距离为，则当P点在双曲线右支上时有：，所以P点不可能在右支上；当P在左支上时有：，由题意：，所以，即，P的横坐标为。评注：这里利用了双曲线的第二定义，也可以设P坐标，利用焦半径公式直接计算。例3(1997年全国高中数学联赛)过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点. 若实数l 使得|AB|=l的直线恰有3条，则l= _. 分析：首先应注意到下面的结论，过双曲线的右焦点且与右支相交于两点的弦，当且仅当其与轴垂直（通径）时取得最小。（证明略） 解：这里通径，满足题设条件的3条直线有且只有以下两种情况：与双曲线左右两支都相交的
3、弦只有一条，而仅与右支相交的弦有两条。此时与双曲线左右两支都相交的直线只能是轴，而其两交点间距离为，但与右支都相交的两条弦长大于通径长4；与双曲线左右都相交的弦有两条，仅与右支相交的弦只有一条，此时的弦只能是通径，即，与左右两支都相交的直线也可满足这个条件。综上，。 例4（湖南省高中数学竞赛）求双曲线的切线，使它被另一双曲线所截得的线段长为最短.解:设双曲线的切线为,则,由得:即,故切线方程可写为: ,设其于交于、.由.由弦长公式:弦长，当且仅当，即时取“=”。这时切线方程为或。 评注：解方程组利用韦达定理是研究二次曲线和直线位置关系的最基本方法之一。F2图2例5（1999年河南省高中数学竞赛）直线与双曲线及其渐近线，交于A、B、C、D四点，求证。分析：如图，这里直线和双曲线都是一般形式，不易直接求和的长，但如果能够证明线段AB和线段CD的中点相同，由平面几何知识可得。证明：设双曲线及其渐近线为（，时是渐近线方程，时是双曲线方程），则由消去得：，易证此方程 ，由韦达定理：直线与双曲线和其渐近线中点的横坐标为，与无关，即两交点的中点横坐标相同，也即线段AB和CD的中点相同，故。评注：本题解法中将双曲线及其渐近线方程合二为一，可大大地减少了计算量。(作者: 韩保席)
