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1、第十章双线性函数一内容概述1线性函数i) 线性函数 设V是数域P上线性空间，映射 f : V P满足 f( + )= f ()+ f ( )，V f ()=k f ()V，k P则f是V上的一个线性函数ii) 线性函数的简单性质：(1) 设f是V上的线性函数，则f (0)=0 , ff 如果是 !, 2,s的线性组合：!k2 2ks s，那么f ( )& !k2 2ks s定理 设V是P上一个n维线性空间，!, 2, n是V的一组基，而ai,a2, , an是P中任意n个数，存在唯一的 V上线性函数f使f ( J=aii 1,2, ,n2线性函数空间设V是数域上P线性空间，V上的全体线性函数的
2、集合记为L(V, P),定义i)加法(f g )( )= f ( )+ g ( ) f , gL(V, P)Vii)数乘kfkf, fV, p, kP则V,p也是一个p上的线性空间。并称V, p 为V的对偶空间。3对偶基设1 , 2 ,n为V的一组基，定义fi( j)1 ji nt=，则 f1, f2, fn 是0 jiV,p的一组基。称fi,f2,fn为1, 2, n的对偶基。定理v,p的维数等于 V 的维数，而且f1,f2, , fn是V,P 的一组基定理设1, 2 , n 及1，2，n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别与f1,f2,fn 及 g1, g2, ,gn 。如果由 1, 2
3、,n到1，2，n的过渡矩阵为A ,那么由fl, f2, , fn到gl,g2, ,gn的过渡矩阵为(A)4.双线性函数设V是数域P上一个线性空间。f(,)是V上一个二元函数，即对中任意两个向量都唯地对应P中的一个数。记为 f(,)。如果f (,)有以下性质:A= f , k1 11 +k 2 f (k1 1 k2k1,k2则称2, ) k1f( 1, ) k2f(仁 2,1, 2 V为V上的双线性函数。V上的一个双线性函数,f 1,1 1f 1,2 1f 1,nf 2,1 f2,2 f2,n是数域上维线性空间1,n是V的一组基，则矩阵叫做f1, 2, n下的度量矩阵。5 对称双线性函数是线性空
4、间 V上一个双线性函数，如果对 V中任意两个向量 都有则称f为对称双线性函数。如果对 V中任意两个向量都有则称f为反对称双线性函数。定理 设V是数域P上维线性空间。是V上对称双线性函数，则存在 V的一组基在这组基下的度量矩阵为对角阵。推论设V是复数域上n维线性空间,是V上对称双线性函数，则存在 V的一组n，对V中任意向量nxi i ，i 1nyi i，有i 1rxiyi (0 r n)i 1推论2设V是实数域上维线性空间，f,是V上对称双线性函数， 则存在V的一组基 1, 2,n，对V中任意向量n=X -i i ?i 1n=yi i，有i 1f(,)XXpypxp 1 y p 1Xr yr(O
5、pr n)定理 设f , 是 维线性空间V上的反对称双线性函数，则存在V的一组基1 ,1 , r ,r ,1,S,使f( i,i)1i 1,2rf( i,j)0i j0f(,k)0V,k1,2 s设V是数域p上的一个线性空间，在上 v定义了一个非退化的双线性函数，则v称为一个双线性度量空间。特别地当 V为维实线性空间，f空间。二例题选讲例1设V是一个线性空间，f1, f2, fsf i0, i=1,2,S证对S用数学归纳法当S=1时f 10所以存在V 使f 1假定当S=K时命题成立。即存在V使下证S=K+1时，命题成立若f K 10则命题得证。若f K 10 但由fk 10知存在V使数使aX,
6、i =1,2,K 令defi()aicdi 0 i 1,2, Kfk 1( ) cb 0是V上非退化对称双线性函数时，V称为伪欧氏*是v中非零向量，试证：存在 V 使0 即S=1使命题成立f iai0 i=i,2, Kfki( ) b 设 fi( ) di i 1,2, K 总可取V且例3(1)(2)证明:V到V*的映射：* 是V到V*的同构映射(在同构的定义下，欧氏空间可看成自身的对偶空间)。证(1)*( 12 )(,12)(,1) ( , 2)*( 1)*( 2)*(k )( ,k)k(,)k *()*(k )(,)是V上的线性函数。(2)先证*是单射。事实上，设12 而1*2* 所以有*
7、 *2即1 ,2得到1 2 ,0 。对于，从而12 矛盾。又*1 ，2*而1 2 ( 12)*()(1 2,)(1, ) ( 2,)1*()2*()* *1 2k(k )*()(k ,)k( ,) k*( ) k *归纳法完成设1, 2, , s是数域P上的线性空间V的非零向量，证明：有f V*使f( i)0 i 1,2, ,s证因为 V V*,1, 2, s是V中的非零向量，所以1*,2 *, s*是V*的对偶空间V* *(V*)*中的非零向量。由例1知，存在f V* 使 i * * f 0i 1,2, ,s 即 f ( i)0,i 1,2, ,s设V是一个n维欧氏空间，对 V中确定的向量定
8、义一个函数 * :*,证明： *是V上的线性函数；V与V*同构。例4 设 是数域P上n维线性空间 V的一个线性变换(1 )证明：对 V上的线性函数f , f 仍为V上的线性函数；(2)定义v*到自身的映射 *为：f f 证明*是v*上的线形变换;3)12n 是 V 的一组基， f1 , f 2,fn是其对偶基，并设n下的矩阵为证明：在fl, f2, fn下的矩阵为AT(称 的转置映射 ) 。1)令 g( )= f ( ) )例511g(=g(g(k+)= f ( + )=)+g( )= f ( (k )= f (k是 V 上的线性函数。2) h1,h2 V , k,l P(kh1+lh2)(
9、)=kh1 (是 V * 的线性函数。3)由条件(f( )+)=k f ()+lh21,2 , n)=(1,( f1, f2, fn)=( f1, f2,ia1i 1a2i 2b1j b2 jj ( i )= f j( i )= f, fn )Banib2jbnj()= f ( )=kg( )=(k h1 +ln )AA=( aij ) nB= (bij ) n n)+ f (h 2 )()j (a1ia2i2ani n )=a jin )( i )=bij故 aij1, 2 ,试证bjin 是线性空间V 的一个基，f2 , f3 是它的对偶基，今给出V 中向量+2= 1+ 2+ 33= 2+
10、1, 2, 3是 V 的一个基，并求它的对偶基。解因为(123)=(=(123 )A而A 0所以因此A是3线性无关，故它是V的一个基。3的过渡矩阵。用 g 1 ,g 2 ,g 3表示(g 1,g 2 ,g 3)=( f1, f2, f3)( A基。我们求出(A)1 。那么g13 g2就是3的对偶基。在F3中给出两个基fi()=(f1 f 2 g31=(1,0,0), 2 =(0,1,0),1=(1,1,-1), 2=(1,1,0),试求这两个基各自的对偶基。设 f1, f 2 , f3 是3的对偶基,3 =(0,0,1)及3 =(1,0,0)2f2并写出它们作用在那么依定义应有F3中任意向量X
11、=( x1 ,x2 ,x3)上的表达式。j)=0 j ii=1,2, 3于是对任意 X= (x 1 ,x 2 ,x3) F3 由 X=x 1 1+x22 +x33 得 f 1 (X)=f 1( X 1,X 2 ,x 3 )=X 1f 2 (X)= f 2 ( X1 ,X2 ,X3)=X 2f 3(X)= f 31淤2 ,X3)=X 3由于从3的过渡矩阵是(1 2 3)=(1,2,3)110 =(01 23 )A00基。1)2)3)所以( g1,g2,g3)= ( f1,f2, f3)(A )故f (X,Y)为P上的双线性函数。2)设A=(a i j ) m nTf (Eij ,Er s)=tr (Ei j从 而 求 出 f(X,Y) 在 基下的度量矩阵为例9a11Ers)=E 11B=a22annaii12设 V 是复数域上的线性空间，其维数证明： V 中有非零向量 ，证( 1)由于nxii11=( f1, f2, f3 ) 01E 1n E 21 E 222n11为123E m1 E m22, f (,)是V上的一个对称双线性函数。使 f ( , )=0；如果 f( ,)是非退化的，则必有线性无关的向量， n 满足：的对偶E mmf(f(f(f (,n)=1f ( , )= f (n,n)=0) 是 V 上的一个对称双线性函数
