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1、知识点一曲线与方程1曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上知识
2、点二椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1
3、)a，b，c的关系c2a2b2知识点四直线与椭圆的位置关系1直线与椭圆位置关系判断的步骤：(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆感悟与点拨(1)求曲线的方程的方法有直接法；坐标转移法；待定系数法(2)判断轨迹的形状，可以利用定义，也可以求出方程，再根据方程进行判断跟踪训练1(1)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50(2)(201
4、6年10月学考)在平面直角坐标系xOy中，动点P的坐标满足方程(x1)2(y3)24，则点P的轨迹经过()A第一、二象限 B第二、三象限C第三、四象限 D第一、四象限(3)已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_答案(1)D(2)A(3)y2x解析(1)由题意知，M为PQ的中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.(2)由题意，点P在圆(x1)2(y3)24上，如图，点P的轨迹经过第一、二象限(3)(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2x6y2x26，y2x.题型二求椭圆的标准方程例2(1)已知椭圆以坐标轴
5、为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的标准方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的标准方程为_答案(1)y21或1(2)1解析(1)设椭圆方程为1或1，则或或椭圆的标准方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，椭圆的标准方程为1.感悟与点拨求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式跟踪训练2(
6、1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知椭圆经过点和点，则椭圆的标准方程为_答案(1)D(2)x21解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1，消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，所以椭圆E的标准方程为1.故选D.(2)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)因为点和点都在椭圆上，所以即解得所以椭圆的标准方程为x21.题型三
7、椭圆的性质例3(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.(2)(2018年4月学考)如图，F为椭圆1(ab0)的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点若OAB的面积是OPF面积的倍，则该椭圆的离心率是()A.或 B.或C.或 D.或答案(1)D(2)D解析(1)因为PF2F1F2，PF1F230，所以|PF2|2ctan 30c，|PF1|c.又|PF1|PF2|c2a，所以，即椭圆C的离心率为.(2)由通径公式知P，SOABab，SOPFc，
8、ab，即a2bc，又a2b2c2，bcb2c2，2或，e或.感悟与点拨(1)求椭圆的离心率的方法直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0eb0)的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1k2，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.(2)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于
9、A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_答案(1)C(2)解析(1)设P(x0，y0)，则得，e.(2)如图，取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形，|AF|BF|AF1|AF|2a4.a2.不妨设M(0，b)，则，b1，e.又0e1，00，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2，|PQ|2，即k22，k，直线PQ的方程是yx1.一、选择题1方程(x24)(y24)0表示的图形是()A两条直线 B四条直线C两个点 D四个点答案B解析由(x24)(y24)0，得(x2)(x2)(y2)(y2)0，所以x20或x20或y20或y20，表示四条直线2已知两点M(2,0)，N(2,0)，
