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1、有界磁场问题分类一、带电粒子在圆形磁场中的运动例1、圆心为0、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的0/处有一竖直放置的荧屏 MN，今有一质量为 m的电子以速率v从左侧沿00/ 方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图1所示，求0z P的长度和电子通过磁场所用的时间.解析：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为0，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为0，电子越出磁场后做 速率仍为v的匀速直线运动，如图2所示，连结 0B, / OAO M0,N图10B0 ,又0A丄0 A,故0B丄0 B,由于原有BP丄0 B,
2、可见0、B、P在同一直线上，且/ 0/ 0P=Z A0 B= 0，在直角三角形 00/ P中，e2ta nq0/ P=(L+r)tan 0 ,而 tan 二22廿1 -tan (-),tan(三)=匚,所以求得R后2 R就可以求出0/ P 了，电子经过磁场的时间可用t=ABVR来求得。V由BemVl得RR=mV.0 (L r)ta eB62ta nq)B r eBr八tan(), tanv2 R mV2厂、1 - tan (-)2(L r)eBrmV0 P = (L r )tan222 2 2 ,m2V -e2B2r2丁 - arctan( 膺曙 2)m V eBr日 Rm, 2eBrmV 、
3、tarctan(2 22 厂)V eBm2V2 -e2B2r22eBrmVm2V22 2 2-e B r例2、如图2,半径为r = 10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点 0,磁感强度B = 0.332T ,方向垂直纸面向里.在0处有一放射源S,可向纸面各个方向射出速度为v =3.2 106m/s的粒子.已知粒子质量 m二6.64 10” kg ,电量q =3.2 10 49C，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出-粒子图2通过磁场空间的最大偏角.2解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由Bqv =得RR = mvBq6.6410 刀 3.2 1060.332 3.2
4、 1019m = 0.20m = 20 cm虽然：粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此、卫粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心，半径 R=20cm的圆周上，如图2中虚线.由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角在半径R一定的条件下，为使:-粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长该弦 是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦显然最长弦应为匀强磁场区域圆的 直径.即粒子应从磁场圆直径的 A端射出.如图2 ,作出磁偏转角及对应轨道圆心O ,据几何关系得甲r1sin，得 =600，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为600.2R2二、带电粒子在半无界磁场中的运动例3、
5、(1999年高考试题)如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场.O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定 的P点相遇，P到O点的距离为L ,不计重力和粒子间的相互作用.(1) 求所考察的粒子在磁场中的轨道半径.(2) 求这两个粒子从 O点射入磁场的时间间隔.解析：(1)粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运M动设圆半径为R,则据牛顿第二定律可得:2_v ” mvB q w m
6、，解得 R =-RBq如图3所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆， 分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道， 圆心 分别为OHO2,在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知/ PQQ1=/ PO2Q2=:从O点射入到相遇，粒子在1的路径为半个圆周加Q1P弧长等于R;粒子在2的路径为半个圆周减Q2P弧长等于:R.粒子1的运动时间粒子2的运动时间A 1 R： t1 = T+-2vA1R-12 = T2vR仃两个粒子射入的时间间隔t= t1 t 2 = 2v、11 1L由几何关系得 Ftos= op = L,解得：-：=2arccos 2222R站 t = 4m
7、.Bqarc cos旦2mv例4、如图4所示，在真空中坐标xoy平面的x 0区域内，有磁感强度 B=o 10工T的匀强磁场,方向与xoy平面垂直，在x轴上的p（10,0）点，有一放射源，在 xoy平面内向各 个方向发射速率v=1.0 104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为 m=1.6 10 25 kg，电量为q =1.6 108C，求带电粒子能打到 y轴上的范围.2带电粒子在磁场中运动时有B q v m ,则Ry/cmP x/cmmvBq1.6 10 25 1.0 1041.0 10，1.6 108二 0.1m = 10cm 如图15所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的
8、直径时， A点既为粒子能打到y轴上方的最高点因Op二R =10cm ,2 2 AP=2R=20cm，贝U OA= ： AP OP =10、3cm.当带电粒子的圆轨迹正好与 y轴下方相切于E点时，E点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB 二 R =10cm .综上，带电粒子能打到 y轴上的范围为：-10cm乞y0、. 3cm .三、带电粒子在长方形磁场中的运动例5、如图5，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，L磁感强度为B，两板不带电，现有质量为 m，电量为q的带正电粒子（重力不计）， 从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么
9、条件.解析：如图4,设粒子以速率 v1运动时，粒子正好打在左极板边缘（图4中轨2迹i），则其圆轨迹半径为Ri冷，又由Bqv哙得v詈，则粒子入射速率小于v1时可不打在板上.设粒子以速率V2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图4中轨迹2）由图可得R22二L2（R2-2）2 22，则其圆轨迹半径为 R2 - 4L 4dV2v2Bqv2 二 m得 v2R22 2二Bq（4L ）,则粒子入射速率大于V2时可不打在板4mdB,板间距离也图7上.2 2综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足:BqdBq(4L d )v或v4m4md例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图4所示，磁感强度为为L
10、,板不带电，现有质量为 m,电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边 极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A. 使粒子的速度 V5BqL/4m；C. 使粒子的速度 VBqL/m；D. 使粒子速度 BqL/4mV5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在点，有 匕=L/4,又由 匕=mV2/Bq=L/4得V2= BqL/4m二V2BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是 A、Bo四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例7、在边长为2a的 ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子
11、从距A点、3a的D点垂直AE方向进入磁场，如图5所示，若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出.解析：如图6所示，设粒子速率为 v1时，其圆轨迹正好与AC边相切于E点.由图知，在沁0店中，O1 = R1, O1 = 3 - R1，由 cos30RiR =3(2 -、.3)a图6OiA3a - R1= (2.3 -3)a又由Bqw2ViBqR1=m得vi -mRi3(23)aqB，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于 w如图7所示，设粒子速率为 V2时，其圆轨迹正好与EC边相切于F点，与AC相交于G点.易知A点即为粒子轨迹的圆心，则又由Bqv22 二m空
12、R2，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于V2 .综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足3(2 一 3)aqB v _ 12翅 .mm粒子从距A点(2 . 3 -3)a 3a的EG间射出.五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例8如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d =1.0 10，m , a板中央有电子源P,在纸面内能向各个方向发射速度在03.2 107m/s范围内的电子，Q为 P点正上方B板上r1-XX 1 X1XXX的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B = 9.1 10”T，已知电子的质量m =9.1 10 1 kg，电子电量e
13、=1.6 1 0 49C，不计电子的重力和电子间相互作 用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地.求：(1) 沿PQ方向射出的电子击中A、B两板上的范围.(2) 若从P点发出的粒子能恰好击中Q点，则电子的发射方向(用图中二角表示)与电子速度的大小 v之间应满足的关系及各自相应的取值范围.解析：如图12所示，沿PQ方向射出的电子最大轨迹半径由 得rm =mVm，代入数据解得rm =2 10，m =2d .Be2vBev = m可该电子运动轨迹圆心在A板上H处，恰能击中E板M处.随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小.击中E板的电子与Q点最远处相切于N点，此时电子的轨迹半径为 d，并恰能落在A板上H处. 所以电子能击中E板MN区域和A板PH区域.在AMFH中，有-(2d)2二d2 .3d ,
