锥曲线与方程［学习目标】1•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用， 会用定义求标准方程 2掌握椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程及其求法 .3•掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何 性质解决相关问题4掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.|f知识梳理 知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点Fi, F2的距离之和等于常数（大于|FiF2|）的点的集合平面内到两定点 F1, F2的 距离之差的绝对值等于常 数（大于零且小于F1F2I）的 点的集合平面内与一个定点F和一条定直线1（1 不过点F）距离相等 的点的集合标准方程2 2 2 2x y 亠 y x孑+ b"=1或孑+孑=1(a>b>0)2 2 2 2 討苗1或話-話=1(a>0, b>0)y2= 2px 或 y2=- 2px 或 x2= 2py 或 x2=-2py(p>0)关系式a2- b2= c2a2 + b2= c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线 y=£x 或 y= ±bx无限延展，没有渐近线变量范围|x|w a, |y|< b 或|y|w a, |x|< b|x|> a 或 |y|> ax > 0或x< 0或y》0或yw 0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e= c，且 01 ae= 1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二椭圆的焦点三角形2 2设P为椭圆字+ y = 1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上),Fi,F2为焦点且/ FiPF2= 讪忆PFp为焦点三角形(如图).2 a(1)焦点三角形的面积 S= b tan 2 ⑵焦点三角形的周长 L= 2a + 2c.知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1•由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1换成0,2 2 2 2即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 字—y2 = 1(a>0, b>0)的渐近线方程为 予―^2= 0(a>0,2 2 2 2b>0)，即y = ;双曲线p= l(a>0, b>0)的渐近线方程为 卡—含=0(a>0,b>0)，即 y= .2 •如果双曲线的渐近线为 X±; = 0时，它的双曲线方程可设为 a d知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.⑵定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪 个坐标轴上时，可设方程为 mx2 + n/= 1(m>0 , n>0).(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点五 三法求解离心率1•定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上, 都有关系式a2— b2= c2(a2+ b2= c2)以及e=已知其中的任意两个参数， 可以求其他的参数， 这是基本且常用的方法.2•方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式， 从而求出其离心率， 这是求离心率的十分重 要的思路及方法.3 •几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆 (双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形 象、直观.知识点六直线与圆锥曲线位置关系1•直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况： 一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2 •直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形 成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题•解决此类问题应注意数形结 合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.题型探究 类型一圆锥曲线定义的应用2 2例1若F!, F2是双曲线X —16= 1的两个焦点，P是双曲线上的点，且IPFJPFzL 32，试 求厶F!PF2的面积.引申探究将本例的条件|PFi| |PF2|= 32改为|PFi|： |PF2|= 1 : 3，求△ F1PF2的面积.反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.2 2跟踪训练1已知椭圆m+ y2= 1(m>1)和双曲线Xn — y2= 1(n>0)有相同的焦点F1, F2, p是它 们的一个交点，则△ F1PF2的形状是( )A •锐角三角形 B •直角三角形C .钝角三角形 D .随m, n变化而变化类型二圆锥曲线的性质及其应用2 2 2 2例2 (1)已知a > b> 0,椭圆6的方程为X2+ y2 = 1,双曲线C2的方程为X2— y2= 1, C1与C2a b a b的离心率之积为 宁，则的渐近线方程为( )A . x ±, 2y= 0 B. .2x±y= 0C. x±2y= 0 D. 2x±/= 02⑵已知抛物线y2= 4x的准线与双曲线亏—y2= 1交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若a△ FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握 基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决.2跟踪训练2如图，Fl, F2是椭圆Ci : X + y2 = 1与双曲线C2的公共焦点，A, B分别是Ci,4C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(A. 2 B.,3 C.| D._2类型三直线与圆锥曲线的位置关系2 2Fi, F2的距离之和为2 2，离心例3已知椭圆a + y^= 1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点(1)求椭圆的标准方程；J|⑵过右焦点F2的直线I交椭圆于A, B两点，若y轴上一点M(0,―)满足|MA|=|MB|,求直 线I的斜率k的值.反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为 A, B，且AB与n = ( .2, — 1)共线.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 若直线y= kx+ m与椭圆E有两个不同的交点 P和Q,且原点0总在以PQ为直径的圆的 内部，求实数m的取值范围.当堂训练21 •双曲线x2—m= 1的离心率大于.2的充要条件是()iA. m>2C • m>1D • m>22•中心在原点，焦点在 x轴上，若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆A.—+ 工=1B&+V = 181 7281 92 22 2x V ,'+ 匚=1X V ,D.—+ = 181 2581 36C.2 2的方程是( )2 22 2B&+匚=116 122 2D.—+ y = 164 482 23 •设椭圆器+ *= 1 (m>0, n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点相同，离心率为寺则此椭圆的方程为（ ）2 2x , y “A —+ 匸=112 162 2x V , C + 4 = 1C.48 十 64 .已知点A( — 2,3)在抛物线C: y2= 2px(p>0)的准线上，过点 A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.1B.33 4c・4 D.35.点P(8,1)平分双曲线x2— 4y2 = 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是广T规律与有法 ,在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种 思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计 算的繁杂、琐碎问题.答案精析问题导学知识点三i. ±bx ±x2 2冷-»仔0)题型探究2 2例i解由双曲线方程X9-16= 1, 可知 a= 3, b = 4, c=" a2+ b2= 5. 由双曲线的定义，得||PFi|-|PF2||= 6,将此式两边平方，得2 2|PFi| + |PF2| — 2|PFi| |PF2|= 36,所以 |PFi|2+ |PF2|2= 36 + 2|PFi| |PF2|=36 + 2X 32= 100.如图所示，在△ F1PF2中，由余弦定理，得2 22|PFi||PF2||PFi| + |PF2| — |FiF2| cos / FiPF2 =100—100= =0,2|PF1||PF2| '所以 / F1PF2 = 90°1所以 袒 F1PF2= 2|PF1| |PF2| sin / F1PF21=X 32X 1 = 16.引申探究解由条件知|PF2|= 3|PFi|,1|PF2|- |PFi|= 2a = 6,£|PFi|= 3,所以|PF2|= 9,2 2 2 |PFi| + |PF2| - |FiF2| 所以 cos Z FiPF2= 2|PFi||PF2|9 + 81 - 100 5Cl的离心率为a2— b2双曲线6的方程为予—y =1,C2的离心率为'a2+ b2••• Ci与C2的离心率之积为 —•- C2的渐近线方程为y=即 x± 2y= 0.⑵抛物线y 2 2•••(|AF2|— AFi|) = |AFi| + |AF2| — 2AFi||AF2|= 12 — 4 = 8, ••• IAF2— |AFi|= 2 2.因此对于双曲线C2有a = .2, c= 3,= 4x的准线方程为x=— i，又△ FAB为直角三角形,则只有/ AFB = 90°如图,2 1代入双曲线方程可得 a25'则A( — 1,2)应在双曲线上,故 e= c= 6.a跟踪训练2 D ［由椭圆可知 |AFi|+ |AF2|= 4, |FiF2|= 2 3.T四边形AF1BF2为矩形,•- |AFi|2 + |AF2|2= |FiF2|2 = i2,2 2 2•- 2|AFi|AF2|= (|AFi|+ |AF2|) — (|AFi| + |AF2| )= i6— i2= 4,二C?的离心率e=- = J.]a 2例3解(1)由题意知，|PFi|+ |PF2|= 2a = 2 2,所以a= 2.又因为e= - =¥，a 2所以 c=¥ X 2= 1,所以 b2 = a2-c2= 2- 1 = 1,2所以椭圆的标准方程为X2 + y2= 1.(2)已知F2(1,0)，。