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1、Poisson 过程的模拟和检验一、 实验目的1、理解掌握 Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技 术；2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为sson过 程。二、实验内容1、利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论， 模拟 Poisson 过程；2、查找资料、学习关于 Poisson 过程假设检验的相关知识，检 验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson过程的定义。三、作业要求 提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。四、 实验原理1、泊松过程(1) 计数过程如果用x(t)表示0，t内随机事件发
2、生的总数，则随机过程 X (t)，t 0 称为一个计数过程。且满足：1)X(t) 0 ；2) X (t) 是整数值；3) 对任意两个时刻o t t，有x(t) x(t);1 2 1 24) 对任意两个时刻o t 0 是一个计数过程，满足1) N (0) = 0 ；2) n(t)是独立增量过程；3) 对任一长度为t的区间中事件的个数，服从均值为入t(入0)的泊松分布，即对一切s,t 0，有P N (t + s) N (s) = k =e-力,k = 0,1,2,k!则称N(t)为具有参数九的Poisson(泊松)过程。 (3) 到达时间间隔T的分布n设 X(t)， t 0 为泊松过程X(t)表示
3、到时刻t为止已发生的事 件的总数；w ,(n = 1,2,3,)表示第n次事件发生的时刻；T ,(n = 1,2,3,) nn表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔。显然， W =T +T +T = Tn 12nii=1定理3.2设 x(t)，t 0 是参数为九(入0 )的泊松过程，则到达 时间间隔序列T, T,是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均12值为1/九的指数分布。则根据上述泊松分布模型可知，X(t),t 0是一个计数过程，T ,n 1是对应的时间间隔序列，若T (n) (n=l,2,.)是独立同分布 nn的均值为丄的指数分布，则X(t),t 0是具有参数为九的泊松过程。
4、九2、泊松过程检验方法Kolmogorov-Smirnov 检验(柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫) ，亦称拟 合优度检验法，用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论 的已知分布。五、 实验过程1、泊松过程的模拟(1) 实验思路本实验采用 MATLABR2010a 编程软件，从构造服从指数分布的时 间间隔T入手，计算每个事件的发生时刻W，最后得到X (t)，即模拟 nn了泊松过程。(2) 实验步骤a) 由函数random(exponential,lamda)构造服从指数分布 的 T 序列；nb) 根据泊松分布模型，w二W + T ；n+1n n+1C)对任意t G (W ,W )， X(t)二n，
5、由此得到泊松过程的模拟。n n +12、泊松过程的检验(1)条件设定Hl：实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。H0:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。(2)检验准备对于H1,已经假定所产生模拟泊松过程数据X(n)服从泊松分布, 而强度九未知，利用函数poissfit(x,alpha)估算出模拟泊松过程的 强度九，再利用函数poisscdf(x,lamda)得到泊松分布的累积分布函 数p。(3) Kolmogorov-Smirnov 检验直 接 调 用 Kolmogorov-Smirnov 检 验 函 数 kstest(x,x,p,alpha),其中，x为输入模拟泊松
6、序列，P为累积分 布函数，1- alpha为置信区间，当结果H1 = 1时，则输入数据是泊松 分布；否则,不是泊松分布。六、 实验结果1、泊松过程的模拟本实验在九=2，T二50的情况下所得结果如图1和图2所示，max为一泊松过程：泊松过程泊松过程图 1 模拟泊松序列图从实验结果图1和图2中可以清楚地看出，在t=0时刻，计数为 0,满足x(o)=o 这一条件;T 是由 random(exponential,lamda)n生成，所以T间相互独立；在充分小的时间间隔内，最多有一个事n情发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件可知，X(t)是独立平稳增量过程。2、经过Kolmogorov-Smirnov检验，“该数据源服从泊松分布。由此可知，根据服务系统模型，由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程是可行的。
