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1、第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设为一个数列，为常数，若对任意，总存在，当时，有成立，则称为数列的极限，记或。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（4）左右极限：，分别称为函数在处的左右极限，存在都存在且相等。（1）若对任意的，总存在，当时，有，数列是否以常数为极限？（2）若数列有一个子列以常数为极限，数列是否以常数为极限？（3）若数列的奇子列与偶子列都
2、存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设，且存在，则；的充分必要条件是。（4）当时常见的等价无穷小：1）；2）；3）。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设都是无穷小，且，是否一定有？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说
3、明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：2、极限的存在性定理与重要极限定理1 单调有界的数列必有极限。定理2 夹逼定理（数列及函数）：重要极限：（1）； （2）； （3）。3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若有界，是否一定存在？（2）
4、若，当时，是否一定有？举例说明。（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？（4）若，且，是否一定有？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。问题：（1）设都在处间断，则是否一定在处间断？（2）若函数在一点连续，函数是否在该
5、点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题1、。2、设，则。3、。4、设，则。5、设，则。6、。7、。8、。9、设在点处连续，则。二、解答题1、判别函数的奇偶性，并求其反函数。2、求下列极限：（1）。 （2）。（3）。 （4）。（5）。 （6）。（7）。 （8）。（9）； （10）。（11）； （12）。3、证明数列极限存在，并求其极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设为常数，。且，证明：。6、求极限。7、设，且，证明：存在，使得。第二讲 导数与微分一、导数的基本概念设在的邻域内有定义，若存在，则称函数在点可导，极限称为函数在处的导数，记为。注解：（1）若存在，称此极限为函数在处的右导数
6、，记为，若存在，称此极限为函数在处的左导数，记为，函数在处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）导数的等价定义，。注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。问题：（1）设存在，问是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。（2）设存在，问是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。（3）设存在，是否存在？说明理由。（4）设存在，是否存在？说明理由。（5）设在处可导，问是否在处连续？（6）在处可导，是否有在的邻域内连续？（7）是否存在只有一个可导点的函数？二、求导工具（一）求导基本公式1、（常数函数导数公式）；2、，特殊情形（幂函数导数公式）；3、，特殊情形
7、（指数函数导数公式）；4、，特殊情形（对数函数导数公式）；5、（三角函数导数公式）：1）； 2）； 3）；4）； 5）； 6）；7）； 8）； 9）。6、（反三角函数导数公式）：1）； 2）；3）； 4）。7、补充公式：1）； 2）；3）。（二）求导法则1、四则求导法则（1）；（2），；（3）；（4）。2、复合函数求导法则设皆可导，则可导，且。3、反函数的导数设与互为可导的反函数，且，则。注解：（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系；（2）二阶导数之间没有这种关系。三、可微与微分1、可微的定义2、连续、可导与可微的关系3、一阶微分形式的不变性4、求导类型（1）显函数的导数；（2）参数方程的
8、导数；（3）隐函数的导数；（4）变积分限的函数的导数；（5）分段函数的导数；（6）高阶导数。例题部分1、设存在，（1）求； （2）。2、设在处连续，且，求。3、设对任意的，有，且，证明处处可导。4、设与在坐标原点处相切，求。5、设在处可导，且，求。6、求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）设，求； （4），求；（5）设，求； （6）设，求；（7）设，求。7、（1）设，讨论函数在处的连续性和可导性。（2）设在处可导，求常数。（3）设，其中，且在处可导，求。8、（1）设，求； （2）设，求；（3）设，求； （4）设，求。（5）设，求及。第三讲 一元函数微分学的应用一、 中值定理1、（罗尔定理）
9、设，在内可导，。则存在，使得。2、（拉格朗日定理）设，在内可导。则存在，使得。3、（柯西定理）设设，在内可导，。则存在，使得。4、（泰勒定理）设在的邻域内有直到阶导数。则有，其中称为余项，称为拉格朗日型余项，其中介于与之间；称为皮亚诺型余项。注解：1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。2、柯西中值定理中用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。3、常用的马克劳林公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、设在的邻域内有阶连续导数，则二、函数的单调性与极值1、函数的单调性（1）定义：（2）函数单调性判别法：2、函数的极值（1）函数极值的定义：（2）必要条件（
10、函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。（3）函数极值的判别：1）第一充分条件：2）第二充分条件：三、函数的最值1、设，求在上的最大值和最小值。2、实际问题最优解。3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。注解：闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。四、函数的凹凸性与拐点1、曲线的凹凸及拐点的定义：2、曲线凹凸性的判别方法：五、渐近线1、铅直渐近线：若，称为曲线的一条铅直渐近线；2、水平渐近线：若，称为曲线的一条水平渐近线；3、斜渐近线：设为一条直线（其中），若，称直线为曲线的一条斜渐近线。若，则直线为曲线的一条斜渐近线。六、函数图象的描绘的步骤1、求函数的定义域；2
11、、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点；4、求函数的铅直、水平及斜渐近线；5、描图。七、弧微分、曲率与曲率半径1、弧微分（1）设曲线，则；（2）设曲线，则；（3）设曲线，则。2、曲率及曲率半径（1）曲率：；（2）曲率半径：。例题部分一、选择题1、设在的邻域内连续，且，则在处 （ ）不可导； 可导且； 取极大值； 取极小值。2、函数的零点个数是 （ ）个； 个； 个； 个数与有关。3、设函数满足，且，则 （ ）是的极大值； 是的极小值；是的拐点； 非极值，非拐点。二、解答题1、设，在内可导，
12、且，证明：存在，使得。2、设，在内可导（），且，证明：存在，使得。3、设，在内可导，证明：存在，使得。4、设。证明：存在，使得。5、设在上连续，在内二阶可导，连接两点的直线与曲线交于点，证明：存在，使得。6、证明下列不等式：（1）设。证明：当时，。（2）证明：。（3）设，证明：。7、（1）研究方程的实根个数。（2）讨论方程根的个数。第四讲 不定积分一、原函数与不定积分1、设为两个函数，若对任意的有，则称为的原函数。注解：（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；（2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，如 ，。（3）若一个函数存在原函数，则一定存在无穷多个
13、原函数，且任意两个原函数之间相差常数。2、不定积分一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为。注解：（1），；（2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。（4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。二、不定积分的性质1、；2、。三、不定积分基本公式1、；2、，；3、，；4、（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。5、（1）， ；（2）， ；（3）；（4）；（5）；（6）。四、积分法1、换元积分法（1）第一类换元积分法。（2）第二类换元积分法。2、分部积分法。3、特殊函数的积分（1）有理函数的积分：（2）三角有理函数的积分：（3）无理函数的积分：例题部分1、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。2、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）
