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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，所以，故选A考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A167 B137 C123 D93【答案】B考点：扇形图3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）A5 B6 C8 D10【答案】
2、C【解析】试题分析：由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C考点：三角函数的图象与性质4.二项式的展开式中的系数为15，则（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C考点：二项式定理5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积6.“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所
3、以“”是“”的充分不必要条件，故选A考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积8.根据右边的图，当输入x为2020时，输出的（ ）A28 B10 C4 D2【答案】B【解析】试题分析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；第1003次运行：；第1004次运行：不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B考点：程序框图9.设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原
4、料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D考点：线性规划11.设复数，若，则的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：如图可求得，阴影面积等于若，则的概率是，故选B考点：1、复数的模；2、几何概型12.对二次函数（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则
5、错误的结论是（ ）A-1是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2020，则该数列的首项为 【答案】【解析】试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：考点：等差中项14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= 【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p的坐标为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，所以曲线在
6、点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义三、解答
7、题（本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17（本小题满分12分）的内角，所对的边分别为，向量与平行（I）求；（II）若，求的面积【答案】（I）；（II）试题解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC的面积为.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.18（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图 （I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（I）证明见解析；（II）试题解析：（I）在图1中，
8、因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC即在图2中，BE ，BE OC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.19（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：（
9、分钟）25303540频数（次）20304010（I）求的分布列与数学期望；（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率【答案】（I）分布列见解析，；（II）【解析】试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40
10、.1从而 （分钟）(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭
11、圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以，.于是
12、.由，得，解得.故椭圆E的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21（本小题满分12分）设是等比数列，的各项和，其中，（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明【答案】（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，证明见解析【解析】试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小试题解析：（I）则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时, 当时, 若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当
