一线三等角典型例题

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 “ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、(2015 年山东德州卷)(1)问题:如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,DPC=A=B=90.求证:ADBC=APBP.(2)探究:如图2,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,当DPC=A=B=时,上述结论是否依然成立?说明理由.(3)应用:请利用(1)、(2)获得的经验解决问题:如图3,在ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足DPC=A.设点P 的运动时间为t(秒),当以D 为圆心,以DC 为半

2、径的圆与AB相切,求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6,分别以ABC 的边AC 与边BC 为边,向ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,过点C作直线KH 交直线AB 于点H,使AHK = ACD1 作D1M KH,D2N KH,垂足分别为点M、N 试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系,并加以证明( 2) 拓展延伸1 如图7,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C 作直线K1H1,K2H2,分别交直线AB 于点H1、H2,使AH1K1 = BH2K2 = ACD1 作D1M K1H1,D2NK2H2,垂足分别为点M、N D1M =

3、D2N 是否仍成立? 若成立,给出证明; 若不成立,说明理由2 如图8,若将 中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变 D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形 例1、在ABC中,AB =2,B = 45,以点A为直角顶点作等腰tADE,点D 在BC 上,点E 在AC上,若CE=5,求CD的长。 例2、 ( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线,l1、l2之间的距离是21/5,l2、l3之间的距离是21/10,等边ABC 的三个顶点分别在l1、l2、

4、l3上,求ABC 的边长 例3、如图,在矩形纸片A 中,在 边上取点,现将纸片沿 翻折,使点 落在 边上的点 处,当时,求 的长。 三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在 三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作MDN=B.(1) 如图5,当射线DN经过A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。(2) 如图6,将MDN绕点D逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点,(E和A点不重合),不添加辅助线,写出图中所有相似的三角形,并证明。(3) 在图6中,若AB=AC=10,BC=12,当三角形DEF的面积等

5、于三角形面积的1/4时,求线段EF的长。 例2、 如图8,在RtABC 中,AB = AC =2,A = 90,现取一块等腰直角三角板,将45 角的顶点放在BC 中点O 处,三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F,设BE =x,CF = y,BOE = ( 45 90) ( 1) 试求y 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;( 2) 试判断BEO 与OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中,OEF 能否成为等腰三角形? 若能,求出对应x 的值; 若不能,请说明理由 【例3】(2012四川成都卷)如图,ABC和DEF两个全等的等腰直角三角形,BAC=

6、EDF=90,DEF的顶点E与ABC 的斜边BC 的中点重合将DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,线段DE 与线段AB 相交于点P,线段EF 与射线CA 相交于点Q(1) 如图,当点Q 在线段AC 上,且AP=AQ时,求证:BPECQE;(2) (2)如图,当点Q 在线段CA 的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP=a,CQ=9a/2 时,P、Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示) 6、(东城一模24.) 等边ABC边长为6,P为BC边上一点,MPN=60,且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点,且PEAB时,判断EPF的形状;(2)如图2,若点

7、P在BC边上运动,且保持PEAB,设BP=x,四边形AEPF面积的y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)如图3,若点P在BC边上运动,且MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长.2、四边形中的一线三等角例1、如图,正方形ABCD 的边长为1cm,M、N 分别是BC、CD 上两个动点,且始终保持AM MN,设BM 的长为x cm,CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值 例2例3、如图,在等腰梯形ABCD 中,ADBC,BC = 4AD = 4 2,B = 45,点 E、F 分别在边BC、CD 上移动,且AEF = 45,则点E移动过程中,线段A

8、F 长 的最小值是( )例4如图,在梯形中,点分别在线段上(点与点不重合),且,设,求与的函数表达式;当为何值时,有最大值,最大值是多少?例4、如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AB=8,CA=CD,E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E与点A、D不重合),且FEC=ACB,设DE=x,CF=y. (1)求AC和AD的长; (2)求y与x的函数关系式; (3)当EFC为等腰三角形时,求x的值.3、函数问题中的一线三等角例1、在直角坐标系中,点A 是抛物线y= x2在第二象限上的点,连结OA,过点O 作OB OA,交抛物线于点B,以OA、OB 为边构造矩形AOBC 如图,当点A 的横坐标为1/2时,求点B 的坐标 例2、如图,已知直线y = kx 与抛物线y = 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3,6) 若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ,点D( m,0 ) 是x 轴正半轴上的动点,且满足BAE = BED = AOD 试探究: m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个? 专心-专注-专业

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