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1、“势能定理”的准确表述及中学典型错题示例一、“势能定理”的准确表述1、推导如图所示，两个物体组成一个孤立系统，它们彼此存在相互作用的保守力，则由动能定理，有1 1 1 1W = mv - mv W = mv - mv 2： 2 22 21：21 1 1 12 2 22 2 2 21 1 1 1两式相加，有 W +W = ( mv + mv )- ( mv + mv ) 2 2 2 221 12 1 2 1 22 2 2 21 2由能量守恒，可知系统势能增量为1 1 1 1DE = -DE = ( mv + mv )- ( mv + mv )2 2 2 2p k 1 2 1 22 2 2 2则有
2、W +W = -DE21 12 p2、表述由上述推导可以看出，“势能定理”的准确表述是：物体间的相互作用保守力的总功，等于这些物体组成的系统的势能的变化的相反数，即W = -DE总 p而不是像高中课本和大部分高中资料表述的那样：重力对物体做的功，等于物体的重力势能的变化的相反数；电场力对电荷做的功，等于电荷电势能变化的相反数。原则上讲，这些表述犯了两重错误，其一是势能属于相互作用的物体系统，而不是其中的某个物体，其二是等式的左边是相互作用力的总功，而不是其中一个力的功。二、高中物理中“势能定理”的特例及其适用条件1、重力势能如右图所示，设想一个小球 m 和地球 M 组成一个孤立系统，两者原来均
3、静止，现让两者在相互的万有引力作用下运动起来，则由动量守恒，有0 = mv - Mv1 2由此可知，两物体的位移满足0 = mx - Mx1 2则相互作用的万有引力（设物体在地球表面附近，且相对地球运动距离不大，万有引力可视为恒力）对两物体做的功分别为m：W = mgx M：W = mgx1 1 2 2则系统重力势能的变化量为DEp = -(W1 +W2 ) = -mg(x1 + x2 ) = -mgDh其中Dh = x + x ，即两者的相对位移，或者说以地球为参考系时物体的竖直位移。1 2从上述分析来看，重力对 m 的功，并不等于系统重力势能的变化；但是，我们通常研究的对象的质量m 远小于
4、地球的质量 M，由 0 = mx - Mx 可知，地球可视为几乎不动， Dh = x + x x ，则有1 2 1 2 1DE = -mgDh -mgx = -Wp 1 1这就是高中物理教材和大部分资料里面的“势能定理”它成立的条件是： m M 。顺便值得说明的是，在上述过程中，由能量守恒，有DE = -mgDh = -DE ，其中 DE 为物体和地p k k球组成的系统的总动能增量，即1 1mgDh = ( mv - 0)+ ( Mv - 0)2 2 1 22 2由0 = mv - Mv 可知，在 m M 条件下，地球速度可认为不变，则1 21mgDh mv - 0 = DE 。21 k12
5、2、弹簧弹性势能与电势能（1）弹簧的弹性势能如右图所示，弹簧连接的两个物体在光滑水平面上运动，则由“势能定理”可知W =W +W = -DE总 A B p弹但 若 弹 簧 一 个 端 点 连 接 的 物 体 A 不 动 ， 另 一 个 端 点 连 接 的 物 体 B 运 动 ， 则 有 W = 0 ，AW总 =W = -DE 弹 ，即弹簧弹力对物体 B 做的功，就等于弹簧弹性势能的变化量的相反数；也就是说，B p只有弹簧的一端固定不动时，才能说弹簧弹力对某个物体做的功，等于弹簧弹性势能变化的相反数。 顺便值得一提的是，右图中两物体都可以运动的情况，弹簧弹性势能的变化，是与系统的总动能的变化的绝
6、对值相等，即 p = +W总 =W +W = -DE 弹 DE DE ，而不是与其中某个物体的动能变化的绝对值A B kA kB相等。（2）电势能如右图所示，两个带电小球放在光滑绝缘水平地面上，它们仅在相互作用的静电力作用下运动，则有W =W +W = -DEp =DE +DE总 A B 电 kA kB若固定小球 B 不动，则W = 0 ，W =W = -DE总 电 ，即静电力对 B A p物体 A 做的功，就等于系统电势能的变化量的相反数；也就是说，只有相互作用的带电体中一个固定不动时，才能说静电力对另一个带电体做的功，等于系统电势能变化的相反数。（3）其他的势能与上述分析类似，比如分子势能
7、只有固定一个分子，才能说分子力对另一个分子的功，等于分子势能变化的相反数。三、高中物理中常见的典型错题示例【例 1】（2018湖北省部分重点中学联考）两小球 A、B 置于光滑的水平面上，A 球以一定的速度与静止的 B 球发生弹性正碰，如图所示，关于两球碰撞过程的说法中正确的是A、在两球碰撞的整个过程中，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和也为零B、在两球碰撞的整个过程中，B 始终对 A 做负功v0 C、在两球压缩形变阶段，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和为负，系统的总动量不变，动能减少D、当两球的速度相等时，系统的机械能最小【分析】本题参考答案给的是 AC。冲量
8、、动量问题，肯定没问题；但是，功和能量问题，命题人显然犯了想当然的错误命题人以为自己建立的简化模型如右图 1 所示，并把弹簧形变算在了小球之外，即把小球当做质点处理，在压缩形变阶段，两小球位移不同，所以才有相互作用力总功为负功的判断；v0 v0A B A Bv0 v0A B A B v1 v1v1 v1A B A B v2 v2 A BA B 图 1 图 2然而实际上的简化模型应该是图 2 所示情形，即两个小球都发生了形变（弹簧包含在小球内，且把小球处理成一个质点加一根弹簧），而相互接触处两小球表面始终具有相同的位移。因此，两小球间的相互作用力的总功在任何阶段均为零，即W = -W ，也就说，
9、小球 A 减少多少机械能，小球 B 将增加多少AB BA机械能，相互作用力的功只起到了转移机械能的作用；然而，在两球压缩形变阶段，系统弹性势能增加，动能减少，这是什么原因呢？这实际上是小球的形变内力做功的结果以 A 球为研究对象，则 A 球内的形变弹力对 A 自身的功W 、对 B 做的功W 的总和不为零，有W +W = -DE ，W = DE ；以 BAA AB AA AB pA AA kA球 为研 究 对象 ， 则 B 球 内的 形 变弹 力 对 B 自 身的 功W 、 对 A 做 的功BBW +W = -DE ，W = DE ；而W = -W ，则有BB BA pB BB kB AB BA
10、W 的 总和 不 为零 ， 有BAW +W = -DE - DE = -DE DE + DE = DEp p p = k k k AA BB A B 总 A B 总可见，本题中 C 选项是错误的。 【例 2】（2016天津理综）如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在 P 点的点电荷，以 E 表示两板间的电场强度，E 表示点电荷在 P 点的电势能，q 表示静电计指针的p偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则A、q 增大，E 增大 B、q 增大，E 不变pC、q 减小，E 增大 D、q 减小，E
11、 不变p【分析】本题参考答案给的是 D。上极板移动时，极板所带电荷量不变，电荷面密度不变，则电场强度不变，因此由U = Ed 可知两板间电势差减小，也就是静电计指针偏角q 减小。接着，命题人认为，由jp =UPO = EdPO 可知，P 点电势不变，因此，由E = qj 可知，点电荷在 Pp p点的电势能E 不变。p然而，我们知道，电势能E 不能说成是点电荷的，而是属于点电荷和两带电极板系统的，它的变化p也不是对应电场力对点电荷做的功，而是对应全部相互作用力的总功！假设上极板带正电，点电荷带负电，很明显，在移动上极板过程中，下极板对上极板做正功，点电荷也对上极板做正功，系统电势能明显是减少的；
12、点电荷带正电的情况，系统电势能的变化，则还需要比较点电荷和下极板对上极板做功的大小关系，进而确定总功是正还是负，总功为正，则系统电势能还是减少，总功为负，则系统电势能增加。其实，公式E = qj 和j = = ，都是基于场源（电容器两极板）本身不动、带电量不变p UPO EdPOp p而建立起来的；一旦场源在变化，则静电场本身即发生了变化，电势的概念将不再有明确含义，基于公式E = qj 分析电势能当然就会出错。也就是说，当场源变化时，就只能用正确的势能定理相互作用p p力的总功等于系统势能变化量的相反数进行分析。本题如果移动时的下极板，则按中学课本和资料建立起来的概念和公式，就已经无法自圆其
13、说由j = = 可知，d 变化必然导致j 变化，则由p UPO EdPOPO pE = qj 可知，点电荷的电势能要变化；然而，p p由与点电荷实际上是被固定而静止不动的，因此静电力实际上对点电荷并没有做功（W = 0 ），那么由W = -DE 可知，点电荷电势能不变。那么，点电荷电势能变还是不变呢？p四、对势能的进一步说明1、一对相互作用力的总功，与计算功的时候测量位移时选择的参考系无关，具体证明此处从略；因此，相互作用势能的变化量，只与两物体的相对位置的变化有关，如果规定两物体相距无穷远时系统势能Qq为零，则系统势能只与两物体的相对位置有关，比如两点电荷的电势能为 E = k 、两天体间的引力势pr Mm能为 E = -G 等，其中 r 就是两物体的间距。pr 2、相互作用势能实际上是局域储存于相互作用场中的，比如场的能量分为属于每个物体的各自单独存在时的场的自能和两个物体场叠在一起后的互能两个部分，其中相互作用势能就是场的能量中的互能部分。所谓势能属于系统，就是指势能局域储存于两物体相互叠加后的场中的意思。
