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1、一元二次方程1（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x 2pxq10有一个实数根为2（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1x 2pxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1x 2pxq的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2x 2pxq1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值2设关于x的方程x 25xm 210的两个实数根分别为、，试确定实数m的取值范围，使|6成立3（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x11)
2、( x21)为负整数的实数a的整数值4（江苏模拟）已知关于x的方程x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使ab ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5（福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且x1x20，x1x2（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得 1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由6（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足abc0，abc8，求c的取值范围7（四川某校自主招生）已知实数x、y
3、满足 ，求xy的取值范围8（福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的两个实数根x1、x2满足x1x2，求证：1x10x21（答案）1（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x 2pxq10有一个实数根为2（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1x 2pxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1x 2pxq的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2x 2pxq1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值解：（1）关于x的一元二次方程x 2pxq10有一个实数根为2NEFMxyy2y12 22pq10，整理得：q2p5（2）p 24qp 24(
4、2p5)p 28p20( p4) 24无论p取任何实数，都有( p4) 20无论p取任何实数，都有( p4) 240，0抛物线y1x 2pxq与x轴有两个交点（3）抛物线y1x 2pxq与抛物线y2x 2pxq1的对称轴相同，都为直线x ，且开口大小相同，抛物线y2x 2pxq1可由抛物线y1x 2pxq沿y轴方向向上平移一个单位得到EFMN，EFMN1四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN EF| |2，即| |2 p42（安徽某校自主招生）设关于x的方程x 25xm 210的两个实数根分别为、，试确定实数m的取值范围，使|6成立解：5 24(m 21)4m 221不论m取何值，
5、方程x 25xm 210都有两个不相等的实根x 25xm 210，5，1m 2|6， 2 22|36，即( )222|36252(1m 2)2|1m 2|36当1m 20，即1m1时，2536成立1m1 当1m 20，即m1或m1时，得254(1m 2)36解得 m m1或1m 综合、得： m 3（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x11)( x21)为负整数的实数a的整数值解：（1）x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0的两个实数根
6、即 假设存在实数a使x1x1x24x2成立，则4( x1x2)x1x204 0，得a24a24满足a0且a6存在实数a24，使x1x1x24x2成立（2）( x11)( x21)( x1x2)x1x21 1 要使( x11)( x21)为负整数，则只需a为7，8，9，124（江苏模拟）已知关于x的方程x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使ab ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由根与系数的关系得：x1x2ab1
7、，x1x2aax1x2，bx1x2x1x21b0，x1x2x1x2101x1x2x1x20(1x1)(1x2)0又x1x2，1x10，1x20即x11，x21x11x2Oxy112CAB（2）x1x2ab1，ab ，x1x2 当点P（x1，x2）在BC边上运动时则 x11，x21x1 x2 1 1故在BC边上不存在满足条件的点P当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x11，1x22取x2 ，则x1x2 ，即ab 故在AC边上存在满足条件的点P（1，）当点P（x1，x2）在AB边上运动时则x11，1x22，易知x22x1x1x2 ，x1 ，x2 又1，12故在AB边上存在满足条件的点（，）综上所
8、述，当点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，）和（，）5（福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且x1x20，x1x2（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得 1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由解：（1）由已知得4x(2xb)2，整理得4x 2(4b4)xb 20x1x2，0，即(4b4)216b 20，解得b又x1x20，0，b0综上所述，b且b0（2）x1x21b，x1x2， 1得b 24b40，解得b22 22 2(1)，b22 不合题意，舍去b22 6（成都某校自主招生）已知a，b
9、，c为实数，且满足abc0，abc8，求c的取值范围解：abc0，abc8，a，b，c都不为零，且abc，ab a，b是方程x 2cx 0的两个实数根c 24 0当c0时，c 24 0恒成立当c0时，得c 332，c故c的取值范围是c0或c7（四川某校自主招生）已知实数x、y满足 ，求xy的取值范围解：(xy)20，x 2y 22xy2(x 2y 2)(xy)22(4a 22a2)(3a1)2即a 22a30，解得1a3xy (xy)2(x 2y 2) (3a1)2(4a 22a2) (5a 24a1)(a)2当a 时，xy有最小值 ；当a3时有最大值16xy168（福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的两个实数根x1、x2满足x1x2，求证：1x10x21证明：将原方程整理，得2a 2x 22ax1a 20Oxy-1-1x1x2令y2a 2x 22ax1a 2，由于a1，所以这是一条开口向上的抛物线当x0时，y1a 20，原方程有一个正根和一个负根又x1x2，x10x2又当x1时，y2a 22a1a 2(a1)20当x1时，y2a 22a1a 2(a1)201x10x21
