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1、第九章微分方程及其应用 9.1微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程。 例如，以下各式都是微分方程：ay 2(2)m 空dx“dt2 hx kx = f (t).dxdt史+ P(x)y =Q(x). dx与drdt I(5) F(x, y, y-严)=0.只含一个自变量的微分方程，称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程， 因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，(1)、为一阶方程，(2)、为 二阶方程，而为n阶方程。微分方程中可以
2、不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成(对自变量的)恒等式，这个1 3函数就叫做微分方程的解。例如y二-?显然是的解因为3dx若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，1 3女口 y x-就是的通解。31从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。例如y x3 二就是3的一个特解。用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的
3、条件称为初始条件。在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条“1 3件。例如,如果的初始条件为y 0二二，则在代入到通解y x3 c后，可以求得c二”：，从31 3而得到特解y x3 *二。3一般的，因为n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数。需要有n个(一组)定解条件，所以n阶方程的初始条件为：y (x ) =y“，y (x )二力y(x0)= y?,，0)= yA其中yy,y2,，yz为n个给定常数。微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。就是满足初始条件yo =二的例如，方程的积分曲
4、线族如图9 1所示。其中y x 二3特解。9.2微分方程的经典案例例1自由落体运动的规律自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律：物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比，其方向与外力的方向一致。当物体的运一5动速度U的绝对值不大（与光速=3 10km/s相比较）时，其质量m可以是一恒量。于是这一运动定律能表达成ddvmv = F,或 m F（ 1）dtdt其中F表示物体所受外力的合力。对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有：- dS -2- 二mg”这里g表示重力加速度，其大小一般取为：g = 9.8m/s ;dtS表示自由落体运动的路
5、程，其大小以S表示之。- _ dS注意到S的方向匕9的方向一致，将口mg,v = dS代入式后得到自由落体运动立场大小22变化的规律：d2s十d2s（2）下一亍=019或-二%运动规律式（2俵示一个微分方程问题。等式；2）的左端区路程大小S的二次微商它的右端是常数g。这里S和g之间不是普通的函数关系，而是二微商的关系。例2单摆运动单摆又称为钟摆或数学摆。所谓单摆运动是指一质量为mo的小球，用长度为I的柔软细绳拴住，细绳的一端固定在某点0处。小球在铅垂平面内运动，略去空气的阻力和细绳在0点处的摩擦力。并且认为细绳的长度I不变，仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力（见图9 2）。在铅垂平面内引进以0
6、为坐标原点的极坐标系统，由于细绳长度不变且细绳总是直的，所以小球的位置用一个坐标t就能表示。这里二表示细绳I和铅垂方向之间的夹角。铅垂方向即是小球的平衡方向，它对应的二为零。作用在小球上的地球引力的大小f为mg，其方向铅垂向下。重力沿细绳方向的分力的大小为mg cos二，其方向沿细绳指向外。这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。所以小球沿细mgsi，它的方向与角 二增加的方向相根据圆周运动规律有:llvdt绳方向没有运动。重力在垂直于细绳方向的分力的大小为反。根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为：d mv 二mgsinr于是从式（3 ）得出：二-g sin v（4）dt2关系式（4）是包含r
7、及其二接微商的方程，并且二不是线性而是非线性地出现在方程中（以sin=这种非线性 形式）。从方程（4）来求出二随着时间变化规律的分析表达式是困难的。当I二比较小时，对微分方程（4）能够进行线性化出处理，即用 二代替sin,，或者说，用-来近似si nr。这样得到式（4）的线性化微分方程：在相同初始条件下服从微分方程5 ”求得的二随时间t变化的规律二t是单摆运动的近似规律。通常将式5 ”写成如下的规范形式:dt2其中卜2。I例3真空中的抛射体运动在真空中运动的抛射体，它的运动规律十分复杂。这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。即忽略抛射体所受的空气阻力，而仅考虑质量为m的抛射体受地球引力作用而引起
8、的运动。取一直角坐标系Oxyz， Ox轴沿水平方向；Oy轴垂直于Ox轴；Oz轴垂直于xOy平面，并与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。依牛顿第二定律，抛射体的运动规律为：d2xm2= 0dt2mgd2zm恭d2y小m2= 0 dt2抛射体的初始状态取为:xO 二 yO 二 zO =0;dxy = Vo cos ,t=o 二 Vo sinm 史u v mg dt铀的含量就不断减少，这种现M成正比。已知t=0时铀的含量为Mo，求在衰变过程中铀含量Mt随时间t变化的规律。其中V。是抛射体的初始速度，位于xOy平面内，V。表示V。的大小；表示V。与水平方向（即Ox轴）之间的夹角（见图94）。例4深水炸
9、弹的水下运动一质量为m的深水炸弹，从高为h m处自由下落到海中。这里不考虑深水炸弹在水平方向的运动，而仅考虑它在铅直方向的运动。由经典力学知：物体由高为h m处自由下落至海平面时，其铅垂方向的速度V。为：V = . 2gh这里g为重力加速度。按如下方式取定坐标系：坐标原点0取在海平面上某处，Ox轴沿铅垂向下，（见图95）。深水炸弹m自高度为h m处自由下落至海平面的时间为to。于是深水炸弹的初始状态为：dx|_x to= 0, It = to= Vo = . 2gh dt深水炸弹在海中运动时，我们不考虑海水对它的浮力，这时炸弹受到两个力的作用，：一是地球引力mg，其方向铅垂向下；另一个是海水对
10、炸弹的摩擦力。这个摩擦力是很复杂的，它和炸弹的形状、速度等因 素有关，这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度v成正比，比例系数即摩擦f能表示系数u为常数。摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反，因而是铅垂向上的。于是摩擦力dx为： f 二一 u v = u dt根据牛顿第二定律知深水炸弹在水下运动的规律为：2d x u dx 小2dt2 m dt例5放射性元素的衰变放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒 子而变成其他元素， 象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量解铀的衰变速度就是M t对时间t的导数钊，由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得dt微分方程型dt 二一几 M其中
11、 0是常数，叫做衰变系数。前置符号是由于当t增加时M单调减少，即型：0的缘故。按题意，初始条件为M |t=o 二 M odt例6指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus，:1766/834）根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。记时刻t的人口为Xt，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，Xt是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将 Xt视为连续、可微函数。记初始时刻 t = 0的人口为X。，人口增长率为r，r是单位时间内Xt的增量与X t的比
12、例系数。于是，Xt满足如下的微分方程:dxrx dtiA（0 ） =XoeM表明人口将按指数规律无限增长r0。例7阻滞增长模型（Logistic模型）例6中的指数增长模型在19世纪前比较符合人口增长情况，但从19世纪以后，就与人口事实上的增长情况产生了较大的差异。产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到 一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少。为了使人口预报特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设
13、。将增长率r表示为人口 x t的函数r x，按照前面的分析，r x应该是X的减函数。一个最简单的假定是设r x为x的线性函数r x =r-sx，（ r, s 0）这里r相当于X=0时的增长率，称固有增长率。它与指数模型中的增长率r不同（虽然用了相同的符号）。显然对于任意的X 0,增长率rx :： : r，为了确定系数s的意义，弓i人自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量常微分方程在数学建模中的应用摘要随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。由于国民收入是资金积累的一部分， 国民收入变化可以反映资金积累的变化。因此研究资金积累、国
14、民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。本文通过微分方程建立 有关人口 增长与资金积累、国民收入的关系的模型。关键词：总资金积累人口平均资金积累国民平均收入 资金积累增长 人口增长一、人口预测模型由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长，为了得到 人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多， 如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因 素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此，先把问题简化，建立 比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型.而此次讨论的则是资金积累、 国民收入与人口增长的关系。在人口自然增长过程中，净相对增长(出生率与死亡率之差)是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数设为r,而若国民平均收入x与按人口 平均资金积累y成正比，说明反当总资金积累的相对增长率k大于 人口的相对增长 率r时，国民平均收入才是增长的。在此假设下，推导并求解人口增长与资金积 累、国民收入的关系。二、问题的重述资金积累、国民收入、与人口增长的关系：(1)若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当
