《全国大学生数学建模竞赛A题储油罐的变位识别与罐容表标定模型解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国大学生数学建模竞赛A题储油罐的变位识别与罐容表标定模型解析（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要本文针对油罐的变位识别和罐容表标定的具体问题，通过建立模型将储油分 成无数个小微元，研究小微元的规律从而利用微积分的方法推导出， 当纵向倾斜 :角度和横向偏移一:角度一定时，通过建立数学模型将储油罐中剩余油的体积与 油位探针显示咼度的函数关系表示出来，并制定罐容表标定值，主要应用了Matlab进行求解。理论值-真实值真实值对于问题一：研究罐体变位对灌容表的影响，首先利用了逼近法计算油罐未 变位前的储油体积，在 Matlab中对实际与理论数据进行拟合利用误差分析公式，求得其误差E范围为0.014866乞E乞0.034917，求储油罐中储油量时将油罐分成多部分考
2、虑，利用微元思想和积分方法求得其储油量的体积与油位探针的读数h及变位角，一：的函数关系 V = f h,在此问中-=0 =4.1时得出V二f h,4.1 ,0，求出其一定h时的V。用模型求出的理论 值与题目附表1中的实际值相比较，得出其误差1.42%乞E乞3.37%。并标出变 位后间距为1cm罐容表。对于问题二，将储油罐分为5个区域分别进行讨论，考虑到在球冠处的体积 表达式过于复杂，我们省略了球冠处的一小部分体积， 进行了近似求解，得出了 罐内储油量与油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。在利用储油罐的实际测量值估计变位参数时，我们建立了最小二乘拟合模型，得到了最佳的变位参数为：纵向倾
3、斜变位:=2.16，横向偏转变位=4.50 。 并据此对储油罐的罐容表进行了标定（见表2）。在模型验证中，我们又采用蒙特卡洛模拟的方法对在问题二的模型中忽略的 部分球冠体积进行了模拟计算。得到用问题二模型中求出的总储油量与模拟得出 的总储油量一致度达到了 99%，误差非常小，验证了我们所建立的模型的合理性 和准确性。关键词：Matlab数据拟合、微元法、最小二乘参数估计法、蒙特卡洛模拟- # -一、 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的
4、对应关系） 进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1是一种典型的储油罐尺寸及形 状示图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为:=4.1。的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容
5、表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度J之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2）,根 据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10c m的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。模型假设1假设油浮子不会超过油位探针颈口，在要到油位探针劲口时就停止注 油；2假设温度和压强对油的体积不影响；3假设油浮子，油位探针和出入油导管的体积不计；
6、4假设问题一中的储油罐为标准的椭圆柱体，没有凹凸地方；5假设储油罐只沿着题目中所示的纵向倾斜，当其沿反方向倾斜时其处理 方法类似，在此题中我们不予考虑；假设纵向倾斜变位的角度乞9.5 ；7 假设题中所给数据均为储油罐内壁测量值；8油位探针被固定在储油罐上，其上油浮子能够准确测量油位高度。三、符号说明Ct油罐纵向倾斜的角度a椭圆的长半轴P油罐横向偏转角度b椭圆的短半轴h油位探针的显示咼度l油位探针到油罐底部左侧的距离L油罐的长度R球冠体的半径V储油的体积Ro圆柱体的底面半径四、问题的分析本文主要研究油罐变位对罐容和罐容表的影响，首先我们利用微元思想与体 积积分的算法建立油面高度与体积关系的模型。
7、然后对问题一利用附件1的油位高度所对应的实际油量的体积与模型求出的理论油量的体积进行数据拟合。比较拟合曲线得到相应的误差范围。在问题一中，由于椭圆柱的纵向偏离 4.1，罐容和罐容表都将受到影响。 我们将倾斜的椭圆柱体分成三部分，并对每一部分通过微元和积分的思想和方法 对其进行计算。从而推导纵向变位(倾斜)对罐容的影响，并标定出以1cm为间隔的罐容表。在问题二中，将储油罐分为5个区域分别进行讨论，考虑到在球冠处的体积 表达式过于复杂，我们省略了球冠处的一小部分体积， 进行了近似求解，得出了 罐内储油量与油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。五、模型的建立与求解5.1问题一的求解本节主要研
8、究变位对椭圆柱油罐罐容表影响，分别对它在变位前后油罐中油 体积的计算，从而推导倾斜对罐容表的影响，标定间隔为1cm的罐容表。由于油罐是不规则容器，因此油罐中储油量的体积可用微元法的思想来求 解。微元法求几何体体积的基本原理如图1所示的一个空间立体物体，设它在x处截面面积为S(x),利用极坐标 下推导面积公式的思想求出它的体积？图1如果纵向切把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面 积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。在a, b上任取一点x,并且任给x的一个增量x，这样就得到一个非常薄 的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：dv
9、= s x lx = A x dxb把这些小体积加起来，就是我们要求的体积即V S x dx5.1.1油罐中理论油量与实际油量的数据拟合如图2所示建立坐标系，设截面椭圆的方程为X22咲1椭圆弓形的高为h,图2 （储油截面图）中带阴影部分为储油截面，用定积分求椭圆的体积。设 弓形的面积为S（h）则2a hr22-S(h)=石h vb -y dy=三(1)W jl _Ls4 abb Y I b 丿b设x = - b由0岂h空2b,可知-1空x叮 油罐的长为L，储油的体积为V x， b可得图2储油截面图利用公式（2）所求的结果和附件1的油面高度得到对应的储油量体积，将这 些点拟合得到理论的储油量变化
10、曲线，并与题目给出的实际的储油量的拟合曲线 比较，如图3所示。图3无变位时的数据拟合图理论值实际值由图像可知理论值大于实际数据，禾U用相对误差E= 表示实际值它们的误差，计算出误差E的范围为：0.014866乞E 乞h1空1.2 此时油面方程不变仍为： z=h1 -yta n，h二h1 - yta ,同理对其切截面及积分可得其体积，但对油面1L 2a htana .7积分的上限变为了 L，即：V2= 丁vb -(z-bfdzdy0 4m图7油面淹没左端面最高点示意图2.3当油面对斜椭圆柱的上柱面和端面相交时如图7即2b乞h1乞2b Ltan ,由油面的方程可得：设其右端面油面的高为0，则设h2
11、为油面与右端面交线到椭圆柱顶部的高:h2 =2b-h| =2b Ltan： -h1由图7可知上下两阴影部分的体积相等。所以油的体积V3 =椭圆柱体总体积-对右上角没油部分对称的左下部分的体 积。对其右上没油部分的体积由对称性可将 h2代入式子Vi中计算。又因为椭圆112h _t柱体的体积为nabL，所以V3 = abL -心芒哉2 _（z - b 丫 dzdy代入 h2 =2b-Ltan： -h1 得:2b -L tan . _h1 h恵 abL_ tan：2aT2b Lta.hytan；. 一？, 2 ,0、b - z-b dzdy设其油位探针的显示高度为h,则由几何关系可得h h 0.4t
12、an 。将此关系带入V = f(h、可得变位后探针高度与储油体积的关系如下(1) 当 h_Ltan： - 0.4tan ：时y2 2a 5书.4甲心l2ViTiE0哉2-(z-b)2dzdy(2) 当 L 0.4 tan： h1 乞 1.2 0.4tan：时L 2a h*y 七 4tpnQ12V2 珂書 T 讹2(z bfdzdy(3) 当 2b 0.4tan： h1 _2b 亠L 0.4 tan：时V3 =二abL巴鲁叱 ； s tan ytan b2z1b 2dzdy5.1.3椭圆柱体的储油罐的罐容表在Matlab的环境下计算油浮子的所显示的高度每改变 1cm时的储油体积（即 变位后的储油罐的罐容表）。其罐容表见表1;当-4.1时，各区域油位高度及 体积变化范围见表2,纵向变位时的数据拟合结果如下。图8纵向变位时的数据拟合曲线表1椭圆柱纵向变位后的罐容表油高(mm)油量(L)油高(mm)油量(L)油高(mm)油量(L)油高(mm)油量(L)0=1.67310630.16101841.89103112103.5332066
