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1、第 23 讲 不变量原理有一句容易记住的话：如果有重复，寻找不改变的东西！A恩格尔大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。俗话说：“万变 不离其宗”。在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表 面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量 关系。寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。20 世纪最重大的 数学成就之一阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer )指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。影响遍及整个数学的陈省身示性类(Chern class)，正是刻画许多流 形特
2、征的不变量。一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一 门学科的开端。经典例题解析让我们通过一个简单例子来揭示不变量原理。例1在某部落的语言中一共只有两个字母：A和B，并且该语言具有以下 性质：如果从单词中删去相连的字母 AB ，则词义保持不变。或者说：如果在单 词中的任何位置增添字母组合BA或AABB，则词义不变。试问，能否断言单词 ABB与BAA词义相同？解 应当注意：在保持词义不变的各种增或删的变化之中，A与B总是增删 同样的个数。因此这些变化不会改变单词中两种字母的个数之差。例如在如下一 串“保义变化”中B始终比A多一个：B T BBA T BAABBBA T BABBA。
3、回到原来的问题：在单词ABB中，B比A多一个；而在单词BAA中，B却 比A少一个！因此我们不能断言：这两个单词同义。上述解答用实例说明了不变量原理运用的主要思路。我们面对某些对象，对 于它们可以进行一定类型的操作，在操作之后便提出了这样的问题：能否由一种 对象变为另一种对象？为了回答这个问题，我们构造出某种量，这种量在所作的 操作之下保持不变。如果这种量对于所言的两个对象是不同的，那么便可给予所 问的问题以否定的回答。例 2 10 名乒乓球运动员参加循环赛,每两名运动员之间都要进行比赛.在循 环赛过程中,1号运动员获胜X次，失败儿次;2号运动员获胜x2次，失败y2次,等等. 求证:X2+X22
4、+ +X102=yi2+y22+ +y02.证明 每个运动员共比赛9场，其获胜与失败总数和为9,即xi+yi=9(1=i=10). 既然每场比赛一些运动员获胜,另一些运动员要失败，那么x1+x2+x10=y1+y2+ +y10, 从而 (X12+X22+ +X102)-(y12+y22+y102)=伍占丫戸+馅孑-丫。2)=9(x1+x2+x10)-(y1+y2+y10) = 0所以 x12+x22+x102=y12+y22+y102，例3从数组3,4,12 出发，每一步可以选其中两个数a,b，并把它们换成0.6a-0.8b以及0.8a + 0.6b。问：是否能在有限步后达到目标(4,6,12
5、 ?解 由于(0.6a - 0.8b)2 + (0.8a + 0.6b)2二a2 + b2，故经过多次替换后所得3个数a,b,c的平方和是一个不变量：a 2 + b 2 + c 2 = 32 + 42 +122 = 132,而由于42 + 62 +122二142,这目标不能达到。(b) (x 4)2 + (y 6)2 + (z 2 1。目标不能达到。评注 这里的不变量是点(a,b,c)到点O的距离，即点(a,b,c)总在以O为中 心，半径为13的球面上，而由于42 + 62 +122二142,目标在以O为中心半径为14的球面上，这目标不能达到。1. 不变量奇偶性例4 一个圆分为 6 个扇形(图
6、 115)。每个扇形中放有一枚棋子。每一步允 许将任何两枚棋子分别移入相邻的扇形。试问，能否通过这种操作，把6枚棋子 全都移到一个扇形之中?图 115 图 116 图 117解 将 6 个扇形依次编为 1 至 6 号(图 116)。对于棋子的任何一种分布，我 们考察6枚棋子所在扇形的号码之和S。例如，在如图117所示的分布中，我们 有S = 2 + 2 + 4 + 4 + 5 + 6 = 23。显然，在把一枚棋子移到相邻的扇形中后，它在S 中的那一项的奇偶性发生了变化。这也就是说，如果同时移动两枚棋子，那么S 的奇偶性保持不变一一这是一个不变量！但是一开始时(图115),我们有S二21， 为奇
7、数。而如果所有6枚棋子全都在一个扇形之中，则当该扇形编号为A时，就 有S二6A，都为偶数。所以我们不可能通过所述的移动，把棋子的分布从原来的 分布变为全在一个扇形中。点评 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是一个整数的不变 性，对于某些问题，找出了不变性就找出了解答。比如，例3通过考察和S的奇 偶性不变，使问题得以顺利解决。2. 不变量余数例 5 某海岛上生活着 45 条变色龙，其中有 13 条灰色的，15 条褐色和 17 条紫色的。每当两条颜色不同的变色龙相遇时，它们就一起都变为第三种颜色(例 如，灰色和褐色相遇，就都变为紫色)。能否经过一段时间，45 条变色龙全都变为同一颜色？解
8、 每一次变化，都有两条不同颜色的变色龙消失，并随之而“诞生”两条第三种颜色的变色龙。我们用数组(a, b, c)表示变色龙的状况，其中a, b, c分别表 示灰色、褐色和紫色变色龙的数目。于是由题意知，在一次变化之后，(a, b, c)或 变为(a 1,b 1,c + 2)，或变为(a 1,b + 2,c 1)，或变为(a + 2,b 1,c 1)。我们发 现，灰色和褐色变色龙的数目之差的变化只能为0, 3和3。这就是说：该差被3 除的余数保持不变，这是一个不变量。在开始时，有a b二13 15 = 2。而如果 全都变为同一颜色，则必a b三0(mod3)。故为不可能。例6有3部卡片打印机。第
9、一部能根据原有卡片上的号码(a,b)，打印一张 号码为(a + 1,b +1)的卡片；第二部则当原号码(a,b)中二数皆为偶数时，打印一张 号码为(aJ2, a2)的卡片；第三部根据两张号码分别为(a,b)和(b,c)的卡片，打印 一张号码为(a,c)的卡片。打印过后，原有卡片和新卡片全都归顾客所得。试问， 能否利用这3部打印机，由一张卡片为(5,19)的卡片得到号码为(1,1988)的卡片？解 从题目的外形看，给定了允许的操作方式内容，要求我们回答：能否从 一种卡片出发得到另一种卡片这就提醒我们，应当找到不变量。就让我们开 始找吧！第一种操作：(a,b) T (a + 1,b +1)。在这种
10、操作之下，什么东西未加改变呢？ 那么当然是卡片上的两个号码之差：(a +1) (b +1) = a b。但是在第二种操作之 下，这种号码差却是变化的：a 2 b/2 = (a b)；2 减半。而第三种操作使得两 张卡片上的号码差相加：a c = (a b) + (b c)。这种状况使我们看到：号码差并非不变量。那么，究竟什么是不变量呢？看 来我们一时难以找到。还是让我们来仔细观察一下吧。先来碰碰运气，看看从我 们的卡片可以得到一些什么样的卡片吧！(1)(5,19)T (6, 20); (2)(6, 20) T (3,10);(3)(3,10) T (20, 27); (4)(6, 20)(20
11、, 27) T (6, 27).暂时到此为止。我们来看看我们的劳动果实吧！我们现在有一组卡片，算一 算它们之上的号码差，得：14，14，7，7，21。由此立即可以猜出我们所要证明 的结论，这就是：号码差应当恒为7 的倍数。其证明十分简单，只要再次回顾一 下三种操作之下，号码差的变化规律即可(见上面的讨论)。现在注意到，在卡片（1,1988）上，这个号码差却为1988-1二1987，它不是7的倍数。可见我们得不 到这样的卡片。毫无疑问，在运用不变量解题时，最重要的是找出“不变量”。这是一门真 正的艺术，要想掌握它，必须在解答类似的题目中积累经验。在这里光靠猜是不 行的，并且应当记住：（1）所找出
12、的量应当是不变量；（2）这种不变量对于题中的两类对象应当取不同的值；（3）应当立即确定下来我们的不变量所要反映的对象的类型。3. 染色 大量用不变量来解的问题需要借助一种专门形式的不变量即所谓“染 色”。下面是一个典型例子：例7棋子“骆驼”在10x10的棋盘上走（1,3）步，即往横向走一格再往纵向走三格（横1纵3），也可纵1横3。（有点象“马”，不过“马”是走（1,2）步）。试问，“骆驼”可否经过几次跳动到达某个与原来相邻的方格？解 不可能。设想棋盘已如国际象棋棋盘那样黑白相间地染了颜色。容易看出，“骆驼” 一定是在颜色相同的格子之间跳动。这就是说：格子的颜色是一个不变量。由于 相邻的格子的颜
13、色必不相同，所以“骆驼”不可能跳入其中。4. 半不变量单调变化的量 “半不变量”的思想极其自然地延续了不变量的思想。所谓“半不变量”是 指在变换过程中单调变化的量，亦即仅增大或仅减小。典型的半不变量的例子有： 人的年龄，它仅能随着时间的流逝而增大。例 8 在十个容器中分别装有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 毫升的水.每次操作可 由盛水多的甲容器向盛水少的乙容器注水, 注水量恰好等于乙容器原有的水量. 问: 能否在若干次操作后，使得 5 个容器都装有3 毫升的水, 而其余容器分别 装有 6,7,8,9,10毫升的水? 如果能,请说明操作程序; 如果不能,请说明理由.解 不能设甲容器水量
14、为乙容器水量为b,转注前后两容器水量和相等，所以 转注前转注后甲容器 乙容器甲容器 乙容器奇奇偶偶奇偶偶奇a + b = （a-b） + 2b 偶偶 奇偶 偶偶 奇偶从以上可见，每次操作后，水量为奇数的容器数目不增由于初始状态有五个杯中水量是奇数毫升，因此无论多少次操作，水量为奇数毫升的容器数总不能比 5 多，所以 5 个容器有 3 毫升水，其余容器分别装有 6， 7， 8， 9， 10 毫升水（总计有 7个容器水量为奇数毫升）的状态不可能出现.同步训练1 给定一个三元数组。对于其中任何二数可进行如下操作：如果这两个数 是a与b ,那么就把它们变为(a + b).2与(a -b)/叮2。试问，
15、能否通过这种操作， 由三元数组(2, J2, 2/2)出发，得到三元数组(1,J2,1 +42) ？2一条龙有 100 个头。一名武士一剑可以砍掉它的15， 17， 20 或 5个头， 就在这四种情况下，在龙的肩上又分别会长出 24，2，14 或 17 个新的头。如果 把头都砍光时，龙就死了。龙会死吗？3从1到106的每一个数反复地被换成该数所有数字的和，直到得到106个一 位数。这些数中 1 多还是 2 多？4. 设d(n)是n e N的所有数字的和，解方程：n + d(n) + d(d(n) = 1997。5. 在图1.1中，有公共边的两个方格称为相邻的。考虑下面的运算T :取 任意两个相邻的数并加上同一个整数。能够把图11经若干次迭代T变成图1.2 吗？图1.1图1.2图26. 证明：8x8的国际象棋盘不可能划分为15个1x4的矩形和1个如图120 所示的图形。7. 在8x8的棋盘的每个方格中有一个整数。每次可取一个4x4或3x3的正 方形，并把其中的每个数都加上1。是否总能得到一个数表，使得(a) 表中每个数都是偶数；(b) 表中每个数都是 3 的倍数？8. 对于二次多项式ax2 + bx + c，允许做下面的运算：(a)把a和c对换；(b)把 x换成
