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1、实验八 用单摆测定重力加速度【实验目的】（1）掌握利用单摆测定当地重力加速度的原理和方法；（2）学会减小试验误差的方法；（3）知道如何选择实验器材，正确熟练使用秒表。【实验原理】（1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。（2）单摆在偏角很小时，振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是。变换这个公式，得,因此，只要测出单摆的摆长L和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。（3）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L/（读到0.1mm），用游标卡尺量出摆球直径（读到0.1mm）算出半径r，则摆长L= L/+r。（4）
2、周期的测量：测出单摆摆动N次所需时间t，则。【实验器材】 长约1米的细尼龙线一条、 球心开有小孔的小金属球 带有铁夹的铁架台一个、 毫米刻度尺一把、 游标卡尺 秒表一块。【实验条件】（1）理想的单摆摆线的伸缩和质量可以忽略，摆球较重，且球的直径比线长短得多.（2）组装单摆时，应使摆球的直径d和摆线长l满足d L，且应选择体积小而质量大的金属球做摆球.（3）在实验中摆角小于10，为了减小计时误差，应当在摆线平衡位置时开始计时，因为此时摆球速度较快，与最大摆角时相比，经过相同的距离的时间较短，即相同的视觉误差下时间误差较小.【实验步骤】（1）做单摆： 让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一
3、些的线结，做成单摆。如上图。 把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂。（2）测摆长：用米尺量出悬线长L（准确到0.1mm），用米尺和三角板（或游标卡尺）测出摆球的直径d（准确到0.1mm），然后计算出悬点到球心的距离L，即为摆长。（3）测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过10），然后放开小球让它摆动，用秒表测出单摆完成3050次全振动的时间，计算出单摆的振动周期。（4）改变摆长，重做几次实验。（5）根据单摆的周期公式，计算出每次的重力加速度，并求出几次实验得到的重力加速度的平均值。【例题1】（1993全国卷23）一位同学用单摆做测
4、量重力加速度的实验。他将摆挂起后，进行了如下步骤：A、测摆长L：用米尺量出摆线的长度。B、测周期T：将摆球拉起，然后放开。在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时。读出这段时间t，算出单摆的周期Tt/60。C、将所测得的L和T代单摆的周期公式算出g，将它作为实验的最后结果写入报告中去。指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正。（不要求进行误差计算）【解析】A要用卡尺测摆球直径d，摆长l等于摆线长加d/2。如果说明用米尺量摆长时，摆长的下端从球心算起，也给这1分。Cg应测量多次，然后取g的平
5、均值做为实验最后结果。如果说明摆长和周期的测量要进行多次，并取它们的平均值为l和T，算出g，也给这1分。【点拨】【数据处理】1、实验记录：物理量次 摆长l（米） 振动次数n（次） N次历时t（秒） 周期T（秒） g=42l/T2（米/秒2 ）g（米/秒2） 当地g 1 2 3 2、实验数据处理：（1）方法一（公式法）：将实验数据代入公式，求出每次重力加速度的值，然后求g的平均值，即为本地的重力加速度。【例题1】（1999上海卷17）在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g =_。如果已知摆球直径为2.00厘米，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如
6、图所示，那么单摆摆长是_，如果测定了40次全振动的时间如图中秒表所示，那么秒表读数是_秒，单摆的摆动周期是_秒。【解析】 L=L0+=88.40-1.00=87.40cm。75.2 1.88【点拨】明白基本仪器的使用及读数规则，是实验的前提。【例题2】（2006上海物理18）有一测量微小时间差的装置，是由两个摆长略有微小差别的单摆同轴水平悬挂构成两个单摆摆动平面前后相互平行 （1）现测得两单摆完成 50 次全振动的时间分别为 500 s 和 490 s，则两单摆的周期差 s； （2）某同学利用此装置测量小于单摆周期的微小时间差，具体操作如下：把两摆球向右拉至相同的摆角处，先释放长摆摆球，接着再
7、释放短摆摆球，测得短摆经过若干次全振动后，两摆恰好第一次同时同方向通过某位置， 由此可得出释放两摆的微小时间差若测得释放两摆的时间差t0.165s，则在短摆释放 s（填时间）后，两摆恰好第一次同时向 （填方向）通过 （填位置）； （3）为了能更准确地测量微小的时间差，你认为此装置还可做的改进是 。 【答案】（1）0.02s （2）8.085s 左 最低点（或平衡位置）（3）同时加大两摆的摆长【分析】（1）（2）先释放的是长摆，故有nT1= nT2+t，解得n=8.25，所以短摆释放的时间为t=n T2=8.085s，此时两摆同时向左经过平衡位置。 （3）在不改变摆长差的同时增大摆长，T 越小，
8、可测得的时间差越小。 【高考考点】单摆 在小振幅条件下单摆作简谐运动 周期公式 【易错点】第二空时最容易错的一空，学生容易将其误认为是长摆释放的时间 8.25s。 【点拨】（2）方法二（图像法）：利用试验中的数据进行T2L图像处理，lT20由单摆的周期公式得，以摆长为纵轴，T2为横轴做出LT2图像，是一条过原点的直线，求出图像的斜率，。【释例1】在利用单摆测重力加速度的实验中，某学生在实验中，测出了五组摆长L和周期T的值，然后作出-L，图线如图所示，再求出图线的斜率k，最后由斜率k求出重力加速度g=_【解析】【释例1】下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据摆长l(m)0.50.60.
9、81.1周期T2(s2)2.02.43.24.8(1)利用上述数据，在右图坐标系中描出l-T2图象.(2)利用图象，取T 24.2 s2时，l1.05m，重力加速度g9.86m/s2.【解析】(1)l-T2图象如图中直线所示.(2)T24.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长约为l1.05 m，将T2与l代入公式g得g9.86 m/s2【点拨】【释例1】一组同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用正确的操作方法，测定了6组摆长L和周期T的对应值。为了求出当地的重力加速度g，4位同学提出了4种不同的方法：从测定的6组数据中任意选取1组，用公式g=42L/T 2求出g作为测量值；分别求出
10、6个L值的平均值和6个T值的平均值，用公式g=42/2求出g作为测量值；分别用6组L、T的对应值，用公式g=42L/T 2求出6个对应的g值，再求这6个g的平均值作为测量值；在坐标纸上作出T 2-L图象，从图象中计算出图线的斜率k，根据g=42/k求出g作为测量值。你认为以上4种方法中，错误的是哪一种_（填代号即可），其余正确方法中偶然误差最小的是哪一种_(填代号即可)。【解析】错误的是，因为L和T之间不是一次函数的关系。偶然误差最小的是，因为偶然误差总是有时偏大有时偏小。而描点后画线时要求尽可能多的点在该直线上，其余点尽可能均衡地分布在该直线两侧，实际上是把偶然误差减小到最小了。【点拨】BA
11、LALBL/mT2/s2TA2TB2【释例2】（2008天津理综22）(3)某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L一T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g= 。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将 。(填“偏大”、“偏小”或“相同”) 【答案】 相同 【解析】题目考查了用单摆测重力加速度设A、B的摆线长为LA和LB，摆线到重心的距离为L1，所以A、B的两处的摆长分别为LAL1和
12、LBL1，根据周期公式得则 （1） （2） （2）（1）得 从式子中可以看出，最终的结果与重心的位置无关，所以不影响g值的测量。【点拨】【释例3】（2008上海物理17）在“用单摆测重力加速度”的实验中：（1）某同学的操作步骤为：a取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上b用米尺量得细线长度lc在摆线偏离竖直方向5位置释放小球d用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期Tt/ne用公式计算重力加速度按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比（选填“偏大”、“相同”或“偏小”）。（2）已知单摆在任意摆角时的周期公式可近似为，式中T0为摆角趋近于0时的周期，a为常数。为了用图
13、像法验证该关系式，需要测量的物理量有；若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图像中的横轴表示。【答案】（1）偏小（2）T（或t、n）、，T【解析】单摆摆长为摆线长度与小球半径之和，因该同学将偏小的摆长代入公式计算，所得重力加速度的测量值偏小于实际值；为验证该关系式，需要测量单摆在任意摆角时的周期T，根据公式与图像的函数关系式可推导得到摆角=0时横轴的截距为T0。【点拨】【误差分析】（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。 悬点是否固定 球、线是否符合要求 是否形成圆锥摆 摆长的测量是否出现误差（2）本实验偶然误差主要来自于时间的测量上。 采取倒计时数振动次数的方法。 多测振动次数。（3）本次实验中进行长度（摆线长、摆球直径）的测量时读数读到毫米位即可，秒表读数读到秒的十分位即可。【注意】（1）为减小计算误差，不应先算T的平均值再求g，而应先求出每次的g值再平均。（2）实验过程中： 易混淆的是：摆通过平衡位置的次数与全振动的次数。 易错的是：图象法求g值，gk而是g=42/k；T=t/n和T=t/（n-1）也经常错用，（前者
