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1、专题训练（三） 平行四边形中的动态问题班别姓名（教材P68习题第13题的变式与应用） 【原题】（人教版八年级下册教材第 68 页第 13题）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,ZB = 90, AB = 8 cm, AD = 24 cm, BC = 26 cm. 点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速 度向点 B 运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动从运动开 始，使PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD = 6, BC=16，点E是BC的中点.点P以每秒 1个单位长度的速度从
2、点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速 度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动求当运动 时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.2.如图，A, B, C, D为矩形ABCD的四个顶点，AB = 25 cm, AD = 8 cm,动点P, Q分别 从点AC同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动.(1) P, Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2) 试问：P, Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.3.如图，平行四边形A
3、BCD中，AC = 6, BD = 8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿 射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动.(1)经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形？若BC丄AC垂足为C,求中矩形边BQ的长.4.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,ZB = 90, AB = 8 cm, AD=12 cm, BC=18 cm, 点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度 向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒. 作DE丄BC于E,则CD边的长度为10cm；(2) 从运动开始，当t
4、取何值时，四边形PQBA是矩形？(3) 在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值； 若不存在，请说明理由.备用图5.如图，已知矩形ABCD, AD = 4, CD=10, P是AB 上一动点，M、N、E分别是PD、PC、 CD 的中点.(1) 求证：四边形PMEN是平行四边形；(2) 请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由.参考答案【例】 （人教版八年级下册教材第 68 页第 13题）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,ZB = 90, AB = 8 cm, AD = 24
5、 cm, BC = 26 cm. 点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速 度向点 B 运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动从运动开 始，使PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？【解答】设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，TAP = t, CQ = 31, DP = 24 t,DP = CQ.24 t = 3t.t = 6,即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQCD，且PQ = CD. 设经过t s时，PQ = CD，即四边形PQCD是等腰梯形，VAP = t，BQ = 26 31,t = 26 31 +
6、 2, t = 7. 综上所述当t = 6 s或7 s时，PQ = CD.【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解1.如图，在四边形ABCD中，ADBC, AD = 6, BC=16，点E是BC的中点.点P以每秒 1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速 度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动求当运动 时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.解：由题意可知，AP = t, CQ = 21, CE=1BC = 8. VAD#BC,A 当PD = EQ 时，以点P、Q
7、、E、D 为顶点的四边形是平行四边形当2tV8,即tV4时，点Q在C、E之间，如图甲.此时，PD=ADAP = 6 t, EQ = CE CQ = 8 21,由 6 t = 8 2t 得 t = 2.当82116，且t6,即4t6时，点Q在B、E之间，如图乙.此时，PD=ADAP14=6 t, EQ = CQ CE = 2t 8,由 6 t = 2t 8得七=14当运动时间为2s或石s时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.图甲图乙2.如图，A, B, C, D为矩形ABCD的四个顶点，AB = 25 cm, AD = 8 cm,动点P, Q分别 从点A, C同时出发，点P以3cm/
8、s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动.(1) P, Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2) 试问：P, Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.解：设P, Q两点从出发开始到第x秒时，PQAD,四边形ABCD是平行四边形，ABCD，即APDQ. PQAD,四边形APQD是平行四边形.AP = DQ.3x = 25 2x.解得x = 5.答: P, Q两点从出发开始到第5秒时，PQAD.(2)设P, Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米， BP = 25 3a，CQ = 2a,根据梯形面积公式得：2(25
9、 3a+2a)8 = 84.解得 a = 4.答：P, Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.3. 如图，平行四边形ABCD中，AC = 6, BD = 8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿 射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动.(1) 经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形？若BC丄AC垂足为C,求中矩形边BQ的长.解：(1)当t = 7秒时，四边形BPDQ为矩形.理由如下：当t = 7秒时，PA=QC = 7, AC = 6, CP=AQ=1.PQ = BD = 8.四边形ABCD为平行四边形，BD = 8, AC =
10、6, A0=C0=3.B0 = D0 = 4.0Q = 0P = 4.四边形BPDQ为平形四边形. PQ = BD = 8,四边形BPDQ为矩形.(2) 由(1)得 B0=4, CQ = 7, BC丄AC,ZBCA=90 .BC2 + CQ2 = BQ2.bq=：/56=2/H.4. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,ZB = 90, AB = 8 cm, AD=12 cm, BC=18 cm, 点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度 向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.(1) 作DE丄BC于E,则CD
11、边的长度为 卫cm；(2) 从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由备用图解：如图 1,由题意得：AP = t, DP=12 t, CQ = 21, BQ=18 21.要使四边形PQBA是矩形，已有ZB=90, ADBC即APBP，只需满足AP = BQ即 t = 18 21,解得t = 6,因此，当t = 6秒时，四边形PQBA是矩形.(3)不存在,理由：如图2,要使四边形PQCD是平行四边形，已有ADBC即DPCQ,只需满足DP = CQ即12 t = 2t,.t = 4时，四边
12、形PQCD是平行四边形，但 DP=12 t = 8H10，即 DPHDC,按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形.5.如图，已知矩形ABCD, AD = 4, CD=10, P是AB 上一动点，M、N、E分别是PD、PC、 CD 的中点.(1) 求证：四边形PMEN是平行四边形；(2) 请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3) 四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理 由.解：(1)M、N、E分别是PD、PC、CD的中点, ME是PC的中位线，NE是PD的中位线.MEPC, ENPD.四边形 PMEN 是平行四边形当
13、AP = 5时，AP = BP,在 RtAPAD 和 RtAPBC 中，1 ZA=ZB,Iad=bc,PAD竺PBC(SAS).PD=PC.M、N、E分别是PD、PC、CD的中点,.ne=pm=2pd, me=pn=pc.PM=ME = EN = PN.四边形 PMEN 是菱形.(3)四边形 PMEN 可能是矩形.若四边形PMEN是矩形，则ZDPC = 90 .设 PA=x, PB=10 x,则 DP=. / 42 + X2, CP=j42+(10 x) 2.DP2+CP2 = DC2,即 16 + x2+16+(10 x)2=102, X210x+16 = 0.解得x = 2或x = 8.故当AP = 2或AP = 8时，四边形PMEN是矩形.
