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1、椭圆的几何性质及综合问题椭圆的几何性质一、概念和性质1椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率和范围、a,b,c的关系”；2椭圆的通经：3椭圆的焦点三角形的概念和面积公式：4椭圆的焦半径的概念和公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：a c PF1 a c.5直线与椭圆的位置关系：6椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高 考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2) 由性质写椭圆的标准方程；(3) 求离心率的值或范围.题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值
2、或范围、离心率的值或范围【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点 P( 3,0),Q(0, 2)；3(2)长轴长等于20,离心率等于-5【典例2】求椭圆16x225y2400的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标【典例3】已知A，P, Q为椭圆且直线AP，AQ的斜率之积为.2A.-21B.-2【练习】已知椭圆2C.-4X+y2_ a2 + b2 2 2C： 与 1(a b 0)上三点，若直线 PQ过原点, a2b21，则椭圆C的离心率为()21D.-41(ab0)的一个焦点是圆x2 + y2 6x+ 8 = 0的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A . ( 3, 0)
3、B . ( 4, 0) C . ( 10, 0)X2y24(2)椭圆-+ 丄 1的离心率为4，贝U k的值为(9 4 + k5D ( 5, 0)B . 21C.黎或 21 D.黎或 212525y2设椭圆C:食+ 2 1(a b 0)的左，右焦点为F1, F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点，A. 21x2【典例a bF1B与y轴相交于点D，若AD丄F1B，则椭圆C的离心率等于 .4】已知F1, F2为椭圆x2+ 1(a b 0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且PR5PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是2 2练习：如图，把椭圆 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆
4、2516的上半部分与P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则PF1 PF2PF7【典例5】若“过椭圆a2+=1(a b 0)的左,右焦点Fi，F2的两条互相垂直的直线11,12的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围.X2 V2【典例6】已知椭圆C: - + y = 1，点M与C的焦点不重合.若 M关于C的焦点的对称点94分别为A, B，线段MN的中点在C上，则|AN|+ |BN| =.【方法归纳】：1. 在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”2. 求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉和顶点
5、、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质和有关重要结论来探寻参数a, b,c之间的关系，以减少运算量.3. 在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化.4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a, b, c的等式（或不等式），利用a2= b2 + c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的 有界性求解离心率的范围.5. 在探寻a, b,c的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5.【本节练习】31已知椭圆的长轴长是8,离心率是4,则此椭圆的标准方程是（）16+25=
6、 1D. 16+25= 1 或 25 + w= 1a . x6+宁 1 b . x2 + 牛 1 或 X2+16=1 c.x2 y2设e是椭圆+ ； = 1的离心率，且16A . (0, 3) B. (3, ) C.1e（1, 1）,则实数k的取值范围是（(0,3)U (乎，+R )D . (0, 2)3已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1 , B2,焦点为F1, F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率 e等于（）込 1 込 込 A. 2 B. 2 C. 2 D. 3X2 y214如图，焦点在x轴上的椭圆+1的离心率e= 2, F, A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任
7、意一点，贝U PF PA的最大值为2x5.已知椭圆C: pa线I交C于A,B两点，若aFib的周长为4 3 ,C的方程为（2XA.32y-122XB.3y2 122xyC.12822x yD.-1246.已知F1、F2是椭圆1方+ 64= 1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PFi丄 PF2，则 F1PF2的面积为7.设Fi , F2是椭圆2XE： Ta1（a b 0）的左、右焦点,P为直线x3a上一占八、,2F2 PFi是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）1A.-2B.D.2x8.过椭圆二a2占1(a0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点 P, F2为右焦点，若F1PF2600,则椭圆的
8、离心率为（A.2B.31C.-21D.39.已知椭圆2X2a2y_b21(a0）的左焦点为F ,右顶点为A,上顶点为B，若BF BA ,则称其为优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知F1为椭圆的左焦点,A, B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点，当1（a b0）的左、右焦点为FnF2，离心率为三，过F2的直3PF1F1A , PO / AB （O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为2211. 已知方程+ = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是（）2 k 2k 112. 矩形ABCD中，|AB|= 4, |BC|= 3，则以A, B为焦点，且过 C, D两点的椭圆的短轴
9、的 长为()A . 2 弓 B. 2 6 C. 4 2 D. 4- 313. 一个椭圆中心在原点，焦点Fi, F2在x轴上，P(2, - 3)是椭圆上一点，且|PFi|, |FiF2|, |PF2咸等差数列，则椭圆方程为 (2 2丄+ y-= 18 62 2 2 2B. 16 + = 1 C. X + 专 12 214. 如图，已知抛物线y2= 2px(p0)的焦点恰好是椭圆X2+ y2= 1(ab0)的a b15.已知抛物线y2 2xx与椭圆二4a2y181(a0)在第一象限相交于 A点，F为抛物线的焦点，AB丄y轴于B点，当/ BAF=30时，a=16.设F1, F2分别是椭圆姑給1的左、
10、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4),则|PM|+ |PF1|的最大值为 .17.椭圆名+ y = 1上有两个动点 P、Q, E(3, 0), EP丄EQ,则EP QP的最小值为()369A . 6B . 3- 3C. 9 D . 12 6318 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 苗，则这个椭圆方程为 .19 .若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是20.已知圆锥曲线 mx2+ 4y2= 4m的离心率e为方程2x2 5x+ 2 = 0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A . 414.椭
11、圆B . 3C . 2 D . 11 a b 0的左右焦点分别为F1, F-,焦距为2c ,若直线y 3x c与椭圆的一个交点满足MF/? 2 MF-F1,则该椭圆的离心率等于设 F1( c, 0), F2(c, 0)是椭圆2x2a2占 1 (ab0)的两个焦点，P是以| F1F-|为直径的圆与椭圆b-的一个交点，且/ PF1F-=5/PF-F1，则该椭圆的离心率为右焦点 F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为(A) 3(C)鼻(D)32x若椭圆字a2 y_ b21 22x轴上，过点(1,)作圆x +y =1的切线，切点分别为A,B ,2直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭
12、圆方程是1的焦点在P,满足线 切点为线段PFi的中点，则该椭圆的离心率为()21.已知椭圆1(ab0)的右焦点为Fi,左焦点为F2，若椭圆上存在一点段PFi相切于以椭圆的短轴为直径的圆，5A .亍 B. 322.已知A,P,Q为椭圆2 2x y c :- c ：a b1(a b 0)上三点，若直线PQ过原点，且直线AP, AQ的斜率之积为1,则椭圆C的离心率等于(2A.B.C.42D.c.三题型二：直线与椭圆的位置关系的判定【典例1】当m为何值时，直线l : yx m与椭圆9x2216y144相切、相交、相离?【典例2】已知椭圆2 x252J 1，直线l :4x 5y 400,椭圆上是否存在一
13、点，它到9直线l的距离最小？最小距离是多少?反馈：(2012福建)如图，椭圆 E :2 x2 a2 y b21(ab 0)的左右焦点分别为1心率e，过F1的直线交椭圆于A,B两点,ABF2的周长为8.2(1)求椭圆E的方程;F1、 F2,离(2)设动直线I: y kx m与椭圆e有且只有一个公共点 P,且与直线x=4交于Q,试探究：在坐标平面内，是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点 M，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： 联立直线方程与椭圆方程； 消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 当 0时，直线与椭圆相交；当4= 0时，直线与椭圆相切；当 0时，直线与 椭圆相离.注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？ 题型三：直线与椭圆相交(和中点弦)问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、 根与系数的关系、整体代换.2【典例1】已知斜率为1的直线I过椭圆 y21的右焦点，交椭圆于 A,B两点，求弦4AB的长和 ABFi的周长、面积x2 v2厂【典例2】已知椭圆p+ 2= 1(
