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1、-第5讲例说三角形中线等分面积的应用图1如图1，线段AD是ABC的中线，过点A作AEBC，垂足为E，则SABDBDAE，SADCDCAE，因为BDDC，所以SABDSADC。因此，三角形的中线把ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。一、求图形的面积图2例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是DGC、BGC的中线，而由S=S=，可得S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等，问题得解。解：连接CG，
2、由E、F分别是BC和CD的中点，所以S=S=，从而得S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等且等于=，因此S四边形=ab4=。例2、在如图3至图5中，ABC的面积为a 1如图2, 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA假设ACD的面积为S1，则S1=_用含a的代数式表示；DEABCF图52如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE假设DEC的面积为S2，则S2=_用含a的代数式表示，并写出理由；ABCDE图4图3ABCD3在图4的根底上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF如图6假设阴影局部的面积为S3，则S3
3、=_用含a的代数式表示发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF如图6，此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了*种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进展两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH如图5求这两次扩展的区域即阴影局部面积共为多少m2.分析：从第1个图可以发现AC就是ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到ECD的中线DA，后面扩展的局部都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展局部的面积，发现规律。解：1由CD=BC，可
4、知AC就是ABD的中线，中线AC将ABD的分成两个三角形ABC、ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；图6DEABCFHMG2假设连接DA，则DA就是ECD的中线，中线AD将ECD分成CDA、EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；3根据以上分析，可知BFD、CED、EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的DEF的面积是SDEF= S3+SABC=6a+a=7a；即扩展一次后的DEF的面积是原来ABC面积的7倍。应用：由以上分析可知扩展一次后S总1=7a，扩展二次后S总2=S总1=72a，扩展三次后S总3=S总2=73a，拓展区域的面积：721
5、10=480m2说明：此题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进展探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。二、巧分三角形例3、如图7，ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.图7图8图9分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把ABC分成面积之比为1:2:3的三个三角形如图8.方法2：在BC边上截取DCBC，连结A
6、D，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则PAC、PAB、PBC的面积之比为1:2: 3如图9.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3.二、巧算式子的值图10例2在数学活动中，小明为了求的值结果用n表示，设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进展求解。解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余局部的面积为，因此.说明：此题运用数形结合思想
7、，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三角形角和定理及外角性质的应用三角形三个角的和等于180，这是三角形角和定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角，这是三角形外角性质三角形角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明一、求三角形的角例2(08)在ABC中，B=40，C=80，则A的度数为( )A30 B40 C50 D60解：由三角形角和定理，得A=180-B-C=180-40-80=60，答案选D例3(08东营)如图1，1=100，2=140，则3=解：4=180-1=180-100=80，5=180-2=180-140=40，由三角形
8、角和定理，得3=180-4-5=180-80-40=60，答案选D图1说明：在求出4=80后，也可根据三角形外角性质，得2=4+3，所以3=2-4=140-80=60二、判断三角形的形状例1 (08)一个三角形三个角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形解：设三个角分别为2k，3k，5k，由三角形角和定理，得2k+3k+5k=180解得k=15，所以2k=30，3k=45，7k=105，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C三、求角平分线的夹角例4 (08)ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为解：如图2
9、，由BO平分ABC，得1=ABC；由CO平分ACB，得2=ACB所以1+2=(ABC +ACB)=(180-A)图2=(180-60)=60四、求三角形的外角例5 (08)如图5，直线l1l2，ABl1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，假设1=30，则2=解：如图6，延长AB交l2于点E因为l1l2，由两直线平行，错角相等，得BEC=3由ABl1，得3=90所以BEC=90由三角形外角性质，得2=BEC+1=90+30=120图5 图6说明：此题也可延长CB交l1于点F，构造FBD进展求解，完成请同学们完成五、比较角的大小例5 (08凉山)以下四个图形中2大于1的是()A B C D解：A
10、选项中，利用两直线平行，错角相等及对顶角相等，可得1=2；B选项，根据三角形的外角性质，可得2大于1C选项中的2与1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得1=2答案选B全等三角形水平测试1薛建辉一、试试你的身手1如下列图，沿直线AC对折，ABC与ADC重合，则ABC_，AB的对应边是_，AC的对应边是_，BCA的对应角是_2如下列图，ACBDEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是_，ABC的对应角是_3ABC和中，假设，则需要补充条件_可得到4如下列图，AB，CD相交于O，且AOOB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是_，联想到SAS，只需补充条件_，则有AOC_5
11、如下列图，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成、两块，现需配成同样大小的一块为了方便起见，需带上_块，其理由是_6如下列图，假设只有ADBD于点D这个条件，要证ABDACD，则需补充的条件是_或_或_7如图，在ABC中，BAC60，将ABC绕着点A顺时针旋转40后得到ADE，则BAE的度数为_二、相信你的选择1以下说法：全等三角形的形状一样；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长面积分别相等，其中正确的说法为2以下结论错误的选项是全等三角形对应角所对的边是对应边全等三角形两条对应边所夹的角是对应角全等三角形是一个特殊三角形如果两个三角形都与另一个三角形全等，则这两个三角
12、形也全等3下面各条件中，能使ABCDEF的条件的是ABDE，AD，BCEFABBC，BE，DEEFABEF，AD，ACDFBCEF，CF，ACDF4在ABC和DEF中，ABDE，AD，假设证ABCDEF，还要补充一个条件，错误的补充方法是BECFBCEFACDF5以下说确的是两边一角对应相等的两个三角形全等两角一边对应相等的两个三角形等两个等边三角形一定全等两个等腰直角三角形一定全等6如下列图，BEAC，CFAB，垂足分别是EF，假设BECF，则图中全等三角形有1对2对3对4对127如图，ABDB，BCBE，欲证ABCDBC，则需补充的条件是ADECAC12三、挑战你的技能1如图，假设DABCBA，请你再添加一对相等的条件，使ABDCAB，并说明三角形全等的理由21完成下面的证明：如图，ABAC，E，F分别是AC，AB的中点，则ABEACF证明：分别是，的中点，在和中2根据1的证明，假设连结BC请证明：EBCFCB3如图，：BEDF，AECF，AECF，求证：ADBC4如图，：CEAD于E，BFA
