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1、281锐角三角函数第1课时正弦关键问答在直角三角形中，一个锐角的正弦是哪两条边的比？若三角形的三边都扩大为原来的k倍(或缩小为原来的)，则这个比值会发生变化吗？求锐角正弦值的方法是什么？1在RtABC中，C90，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值()A扩大为原来的2倍 B缩小为原来的C不变 D扩大为原来的4倍2在RtABC中，C90，AB5，AC4，则sinA的值为()A. B. C. D.3如图2811所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为()图2811A. B. C. D1命题点 1利用正弦函数的定义求值热度：97%4.如图2812，已知的一边在x轴上，另
2、一边经过点A(2，4)，顶点为B(1，0)，则sin的值是()图2812A. B. C. D.解题突破点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.5.对于锐角，sin的值不可能为()A. B. C. D2易错警示锐角的正弦值的范围可以通过定义，由直角三角形三边的大小关系来确定.6.如图2813，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，A45，则下列比值中不等于sinA的是()图2813A. B. C. D.方法点拨求锐角的正弦值还可以用等角代换的方法7.如图2814，ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sinA的值为()图2814A2 B. C. D.方法点拨在网格图中求锐角的正弦值时，先看所求角所在
3、的格点三角形是不是直角三角形，若不是，则需要作出包含所求角的直角三角形8如图2815，ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上，则sinA的值为()图2815A. B. C. D.方法点拨求格点三角形某条边上的高常用的方法是等积法.9.如图2816，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sin的值为()图2816A. B. C. D.解题突破过点D作这一组平行线的垂线，利用全等的知识把已知条件集中到同一个直角三角形中，进而利用正弦的定义求值.10已知AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AECF32，则sinBACsinAC
4、B的结果是()A32 B23 C94 D4911.在RtABC中，C90，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB5，AC4，那么sinADC1的值是_方法点拨求锐角的正弦值，需要构造这个角所在的直角三角形，或者将其转移到某个直角三角形中.12如图2817，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则sinABO的值为_图281713.如图2818，在RtABC中，C90，A30，E为AB上一点，且AEEB41，EFAC于点F，连接FB，则sinBFC的值为_图2818方法点拨利用相似三角形的性质及勾股定理求边长是几何问题中常用的方法.1
5、4如图2819，在ABC中，ADBC于点D，如果AD10，DC5，E为AC的中点，求sinEDC的值图2819命题点 2正弦函数的简单应用热度：95%15在RtABC中，C90，那么sinA的值()A与AB的大小有关 B与BC的大小有关C与AC的大小有关 D与A的大小有关16在RtABC中，C90，sinA，BC6，则AB的长为()A4 B6 C8 D1017.在ABC中，AB5，BC6，B为锐角，且sinB，则C的正弦值为()A. B. C. D.方法点拨在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值、这个角的对边、这个三角形的斜边这三个量中的两个量，就可以求得第三个量.18如图28110，在RtA
6、BC中，ACB90，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC6，sinA，则DE_图2811019.如图28111，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OEAC交AB于点E，若BC4，AOE的面积为5，则sinBOE的值为_图28111解题突破因为所求角所在的三角形不是直角三角形，所以需要添加辅助线，想办法将角进行转化.20已知：如图28112，在ABC中，AC10，sinC，sinB，求AB的长图2811221.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图28113，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小
7、与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对的定义，解答下列问题：(1)sad60的值为_；(2)当0A180时，A的正对sadA的取值范围是_；(3)已知sin，其中为锐角，试求sad的值图28113解题突破利用“规定”把新情境下的问题转化成我们所学过的知识，再运用已有的经验和方法进行求解.详解详析1C2.B3.B4D解析 过点A作ACx轴于点C，则AC4，OC2.又因为OB1，所以BC3，所以AB5，所以sin.5D解析 sin，由于斜边的长大于任何一条直角边的长，所以0sin1.6D解析 在RtABC中，sinA；在RtACD中，sinA；AB90，BBCD90，ABCD.在Rt
8、BCD中，sinAsinBCD.7D解析 如图，连接CD，根据网格图的特点，可知ADC90，设每个小正方形的边长均为1，则CD，AC，所以sinA.8A解析 设每个小正方形的边长均为1，过点C作CDAB于点D，ABC的面积为4311312143.因为AB5，所以5CD，所以CD1.又因为AC，所以sinA的值为.9B解析 如图，过点D作EFl1，交l1于点E，交l4于点F，EFl1，l1l2l3l4，EF和l2，l3，l4的夹角都是90，即EF与l2，l3，l4都垂直，DE1，DF2.四边形ABCD是正方形，ADC90，ADCD，ADECDF90.又ADE90，CDF.又ADCD，AEDDFC
9、90，ADEDCF，CFDE1，在RtCDF中，CD，sinsinCDF.10B解析 由题意可得sinBAC，sinACB，所以sinBACsinACBCFAE23.11.解析 C90，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，则点C1恰好落在斜边AB上，DC1A90，ADC1ABC.AB5，AC4，sinADC1sinABC.12.解析 过点A作ACx轴于点C.因为A(3，3)，所以AC3，OC3.又因为B(7，0)，所以BC4，所以AB5，所以sinABO.13. 解析 在RtABC中，C90，A30，BCAB.设AB5x，AEEB41，AE4x，EBx，BCx.ABC是直角三角形
10、，AC x.EFAC，C90，EFBC，AFFCAEEB41，即FCACx，BFx，sinBFC .14解：ADBC，ADC90.AD10，DC5，AC5 .E为AC的中点，DEAEECAC，EDCC，sinEDCsinC .15D16D解析 在RtABC中，C90，sinA，BC6，AB10.故选D.17C解析 如图，过点A作ADBC于点D.sinB，.AB5，AD3，BD4.BC6，CD2，AC，sinC.18.解析 BC6，sinA，AB610，AC8.D是AB的中点，AD5.由ABCAED，可得DE.19.解析 取AB的中点F，连接OF，EC，过点B作BGAC于点G.由矩形的性质可得A
11、OBOCODO，OFAB，OFBC2.又AOE的面积为5，AE5.由线段垂直平分线的性质可得ECAE5.在RtBCE中，由勾股定理可得BE3.BGAC，OEAC，BGOE，.BGOE，BOEOBG，sinBOEsinOBG.20解：过点A作AEBC，垂足为E.在RtACE中，AEC90，sinC，AE8.在RtABE中，AEB90，sinB，AB24.21解：(1)根据正对的定义，当等腰三角形的顶角为60时，其底角为60，则三角形为等边三角形，则sad601.(2)当A接近0时，sadA接近0，当A接近180时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sadA接近2.所以当0A180时，sadA的取值范围是0sadA2.(3)如图，在ABC中，ACB90，sinA.在AB上取一点D，使ADAC，过点D作DHAC，H为垂足，令BC3k，AB5k，则ADAC4k.在ADH中，AHD90，sinA，所以DHADsinAk，由勾股定理可得AH k，则在RtCDH中，CHACAHk，CD k.在ACD中，ADAC4k，CD k，由正对的定义可得sadA，即sad.【关键问答】在直角三角形中，一个锐角的正弦是这个锐角的对边与斜边的比；这个比值不会发生变化使锐角成为某个直角三角形的内角，利用这个锐角的对比与斜边的比来求得正弦值
