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1、处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学 廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列， 不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我 们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了 保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而 且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合， 体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透 和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能 力，培养学生思维的灵活性，创造性，
2、所以是历年高考的热点。一 恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上 某关系的恒成立问题。二 处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 变量分离思路处理； 利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为 函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。例2：若不等式x2+ax+l 0对一切x e (0,匕成立，贝b的取值范围为() 25A. 0 B. 2C. _D.
3、-321 _X 2 11解析：由于x e (0, a = x 2 xx1115. f(x) = x + 1在(0上上单调递增，在x=i取得最小值_x2225a 故选C2方法2：利用函数的性质，图象其主要体现在：1 ，利用一次函数的图象性质 若原题可化为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b(a 主 0).若y=f(x)在m,n内恒有f(x) 0(或f(x) 0， x e m,n恒成立 o - f(n) 0f(x) 0， x e m,n 恒成立 o f(n) 02，利用二次函数的图象性质：若 f(x)=ax2+bx+c(a丰0)大于0恒成立 o 若二次函数在给定区间上恒成立则可
4、利用根的分布和韦达 定理求解。例1：函数f(x)是奇函数，且在-1,1单调递增，又f(-1)=-1，若f(x) t2-2at+1对所有的a e -1,1都成立，求t的取值范围 解析：不等式中有三个变元，通过逐步消元法处理。首先选 定主元X，.f (x)在T,l递增 .f(x) f (x). x e -1,1max即12-2at+1 1， a e -1,1上恒成立 o t2-2at 01不等式m f(x)在区间D上恒成立 o m f(x) ,x g Dmax或f(x)的上确界(若f(x)在x g D的值域为a,b,贝la称为f(x)的上确界，b称为f(x)的下确界)2不等式m f(x)在区间D上
5、恒成立o m f(x)在区间D上有解o m f(x) ,x g Dmin或f(x )的下确界2不等式m f(x)在区间D上有解o m 0都有f(x) ax成立， 求实数a的取值范围解析：由f(x) = (x+1)ln(x+1) ax，对所有的x 0恒成立可得：(1) 当x=0时，a g R(2) 当x0时,a 0,故h(x) 0,则函数h(x)x + 1在(0, +g)为增函数，即h(x) h(0)=0，从而g(x) 0,则函数g(x) 在(0, +g)也为增函数，故g(x)无最小值此时，由于g(0)无意义，g(x) 的下确界一时也难确定，但运用极限的知识可得(x)limg(x),然而求此极
6、限又超出了所学范围，事实上采用洛比达法则可得img(x) = (x+1)ln(x+1)x=limln(x+1)+ 1 = 1,故x 0时,g(x) 1,因而a 0, -1,1恒成立g(-1) 0g(1) 0-2t+t2 0-2t+t2 0e (g, 2 u 6 u 2, +s)例2：若函g”1)x2+(a - 1)x+吕的定义域刼求实数a的取值范围.2 解析：该题就转化为被开方数(a2 1)x2 + (a 1)x + a + 1 0在R上恒成立，注意对二次系数的讨论。 解：依题意，当x e R时，2(a2 1)x2 + (a 1)x + 0恒成立，a + 11。当a2 1 = 0时，即当 1
7、0时n a=1,此时a + 1 主 0(a2 1)x2+(a 1)x +210a=1成立a+2。当 a2 1主0时，即当a210A 119nn 0综上可得,f(x)的定义域为R时,a e 1,9方法三:直接根据函数图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等式 或不等式两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果例：设x G （0,4,若不等式Jx（4 - x） ax恒成立,求a的取值范围 解析：若设二Jx（4 x）则其图象为上半圆，设y =ax为过原点且斜Y2 率为a的直线在同一坐 标系中作出函数图象,如下右 依题意,半圆恒 在直线上时 , 只有 a0, 即其取值范围为
8、a 0恒成立,求a2 a2 a + 124a2的取值范围 .2a2a解析：因为log的值随a的变化而变化,t=log,则2 a + 12 a + 1上述问题实质是当t取何值时，不等式（3-t）x 2+2tx-210恒成立它等价于，求解关于t的不等式组3 七 n t 0,A 0即log2a2 a + 1 0 n 0 a 12.选定主元法例:对满足不等式4需2aa25的一切实数，不等式(a-3)x4a-2 都成立求实数的取值范围解析:按常规理解要解以x为主元为a常数的一元一次不等式但 比较烦琐若选a为主变元则可利用函数的性质解X的取 值范围由J4需氓広得：0a5设f(a) = (x-4)a-(3x
9、-2则由题意知对任意鮒e (0,5)都有f(a)恒成立由一次函数的性质得*(0) 0f(5) 02解之得3 x 0恒成立先变量分离得对a-d )x+(2 )x+ + ( )x, (n 2)n nn对于x e (- 1恒成立构造函数(x)=-)x+( )x+. + ()x, (n 2)n nnk()(xIKLn-=x) u则问题转化为求该函数:在, 1上的值域由于函数=1,2. n - l),x e (_g 1上是单调递增的贝脸(x)在(y, 1为单调递增函数于是g(x)的最大值为(1)=-2(n-1), 从而可知a-2 (n-1),24.分类讨论R,则的例：若函数f(x)二Jkx2 6kx + (k + 8)的定义域为 取值范围是()由题意kx 2 6kx + (k + 8) 0恒成立若 , 符合题意(2)若，kx2 6kx + (k + 8) 0恒成立 o:00(1)n k36k2 4k(k + 8) 0综上可得 ： 0 k 1, 而是在处理恒成立 问题时 , 并非单一的使用某一种思路方法各种思路方法相互渗透 , 解决这类问题是各种思路和方法的综合运用 , 且要求较高难度较大.正所谓 万变不离其中 , 只要我们在平时的学习中把基本思路和方法理解 , 掌握透彻 , 一切问题都会 迎刃而解
