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1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示命题探究1圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2点M在圆上；(2)(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外；(3)(x0a)2(y0b)20.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx
2、1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2圆心在曲线yx2(x0)上，并且与直线y1及y轴都相切的圆的方程是()A(x2)2(y2)22B(x1)2(y2)24C(x2)2(y1)24D(x2)2(y1)24答案D解析设圆心的坐标为，据题意得x21x，解得x2，此时圆心的坐标为(2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x2)2(y1)24.3直线yx1上的点到圆x2y24x2y40的最近距离为()A2 B.1C21 D1答案C解析圆心(2,1)到已知直线的距离为d2，圆的半径为r1，故所求距离dmin21.考法综述求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一
3、般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题命题法1求圆的方程典例1(1)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x5)2y25或(x5)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25(2)求经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上的圆的方程解析(1)设圆心坐标为(a,0)(a0)，因为圆与直线x2y0相切，所以，解得a5，因此圆的方程为(x5)2y25.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心.解之，得圆的
4、一般方程为x2y28x10y310.解法二：从形的角度，AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB中垂线x4上，则由得圆心P(4,5)半径r|PA|.圆的标准方程为(x4)2(y5)210.答案(1)D(2)见解析【解题法】用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程命题法2与圆有关的最值问题典例2已知实数x，y满足方程
5、x2y24x10，求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解原方程变形为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，半径r的圆(1)设k，即ykx，由题知，直线ykx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径.k23，即k，的最大值为，最小值为.(2)设yxb，则当直线yxb与圆相切时，b取最值，由，得b2，yx的最大值为2，最小值为2.(3)令d表示原点与点(x，y)的距离，原点与圆心(2,0)的距离为2，dmax2，dmin2.x2y2的最大值为(2)274，最小值为(2)274.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1
6、)形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x02,2y0)因为P点在圆x2y24上，所以(2x02)2(2y0)24.故线
7、段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.1过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10答案C解析设过A，B，C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，则，解得D2，E4，F20，所求圆的方程为x2y22x4y200，令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1y24，y1y220
8、，所以|MN|y1y2|4.故选C.2如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2y21相交于M，N两点，下列三个结论：；2；2.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x1)2(y)22(2)解析(1)依题意，设C(1，r)(r为圆C的半径)，因为|AB|2，所以r，所以圆心C(1，)，故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)由，解得或，因为B在A的上方，所以A(0，1)，B(0，1)不妨令直线MN的方程为x0(或y1)，M(0，1)，N(0,1)，所以
9、|MA|，|MB|2，|NA|2，|NB|.所以1，1，所以，所以(1)1(1)2，(1)112，正确结论的序号是.3.设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_答案1,1解析解法一：当x00时，M(0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(1,0)或N(1,0)，使OMN45.当x00时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得OMN45，应有OMBOMN45，AMB90，1x00或0x01.综上，1x01.解法二：过O作OPMN，P为垂足，OPOMsin451，OM，OM22，x12，x1，1x01.4若圆C的半径为1，其圆心与点
10、(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_答案x2(y1)21解析因为(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2(y1)21.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.注意点切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解. 1思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分
11、条件()(3)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)2对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心答案C解析x2y22的圆心(0,0)到直线ykx1的距离d1，又r，0dr.显然圆心(0,0)不在直线ykx1上，故选C.3圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长为_答案解析圆C1的方程减圆C2的方程，即得公共弦所在的直线l的方程为xy1
12、0，圆C3的圆心为(1,1)，其到l的距离d，由条件知，r2d2，弦长为.考法综述直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质命题法直线与圆的位置关系及应用 典例(1)直线axy2a0与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相切C相交 D不确定(2)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析(1)直线axy2a0a(x2)y0，即直线恒过点(2,0)，因为点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交(2)因为直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，所以圆心到直线的距离dr，可得|a1|2，即a3,1答案(1)C(2)C【解题法】1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r22d2
