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1、双曲线 教材解读一、知识精讲1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a |F1F2|时，其轨迹不存在。2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）两种双曲线的异同：相同点：形状、大小相同，都有a0，b0，c=a+b；不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。（4）与椭圆标准方程的不同
2、：双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“”号；双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线和来说，如果x项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；如果y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不一定大于b，这和椭圆有明显的不同。双曲线有两个顶点，离心率e1；而椭圆有四个顶点，离心率e0，b0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：渐近线方程为mxny0的双曲线的方程为：mxny（0且为常数）。与双曲线1（a0，b0）有共同渐近线的双曲线方程可设为（0且为常数）。（4）实轴与虚轴相
3、等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=x，离心率e=。二、方法点拨1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应注意：（1）动点是否满足双曲线的准确定义。（2）条件“2a3时，有k30,k+30，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=4 是可以的，这不在k3里故应该选A2、双曲线的几何性质的考查双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目出现上升趋势。例2(陕西卷)已知双曲线 =1(a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.解法1：双曲线(a)的两条渐近线的夹角为，则，所以 a2=6，双曲线的离心率为 ，选D解法2：认识
4、两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有,选D;3、双曲线有关的综合问题以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。例3（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又因为 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得所以，又，即点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意所以，点的坐标为到的距离为所以的面积
