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1、初三数学二次函数综合题归类复习.图像与性质:例1(四川资阳，第2题2分)如图，已知抛物线=x2+x+c与x轴的一种交点为A(3，)，与y轴的交点为B(0，3)，其顶点为C,对称轴为x=.（1)求抛物线的解析式；（)已知点M为y轴上的一种动点,当M为等腰三角形时,求点M的坐标；（)将AO沿x轴向右平移个单位长度（0m）得到另一种三角形,将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表达S.考点:二次函数综合题.分析:(1）根据对称轴可知,抛物线y=x2+b+c与x轴的另一种交点为（1，)，根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x3.（2）分三种状况:当A=MB时;当ABM时;当
2、AB=M时；三种状况讨论可得点的坐标.（3)平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线B的解析式为y=+3易得直线F的解析式为=x3根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE，直线BE交A于G，则G（,3）在AOB沿x轴向右平移的过程中.分二种状况：当0m时；当m3时；讨论可得用m的代数式表达解:（1)由题意可知，抛物线yax2+bx与轴的另一种交点为（1,0），则，解得故抛物线的解析式为=x22x3（）当M=B时,M（0，0)；当B=A时,M（0,);当A=时,M（0,3）或M(0，33)因此点M的坐标为:(,0)、(0，)、(,3+3)、（0,33).（)平移后的三角形记为PEF.设
3、直线AB的解析式为y=x+,则,解得则直线AB的解析式为y=x+AO沿轴向右平移m个单位长度(0m3）得到PEF，易得直线EF的解析式为yx3+m设直线AC的解析式为y=kx+,则，解得.则直线AC的解析式为2+6.连结BE,直线B交AC于G,则G（，3）.在AOB沿轴向右平移的过程中.当0m时，如图1所示设PE交AB于K,EF交C于.则B=EK=m,PK=3，联立，解得,即点M(3,2m）。故S=PEFKSAF=2PK2AFh=(3m）2m2m=m+3当m3时,如图2所示.设PE交AB于K，交AC于H.由于BE=m，因此KPA=3m，又由于直线AC的解析式为y=2+6,因此当x=m时,得y=
4、6m,因此点H(m，6m).故=SPAHSP=PAPHA2=（3m）（62m)（3)=2m.综上所述，当m时，S=2+3m；当m3时，S3m+ 点评：考察了二次函数综合题，波及的知识点有:抛物线的对称轴,待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式,分类思想的应用，方程思想的应用,综合性较强，有一定的难度2.旋转问题:例2. （福建泉州,第22题9分)如图，已知二次函数y=a(xh)的图象通过原点O(0，),A（2，）（)写出该函数图象的对称轴;（2）若将线段O绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A与否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质;坐标与图形变化-旋转.分析：（1)由于抛物
5、线过点O（0,0)，A(2,0)，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；(2)作AB轴与B，先根据旋转的性质得OA=OA=2,AOA=,再根据含度的直角三角形三边的关系得OB1,B=OB=，则A点的坐标为(,),根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=（)2+的顶点.解答：解：（1)二次函数y=a(xh）的图象通过原点O(0,0）,A（,）.抛物线的对称轴为直线x=1;（2）点是该函数图象的顶点理由如下：如图，作AB轴于点B，线段O绕点逆时针旋转0到OA,OAOA=,A=2，在RtAB中，O=3,BO=1,AB=，A点的坐标为(,），点为抛物线y=(1)2+的顶点点评:本题考察了二
6、次函数的性质:二次函数y=2+bxc（a0)的顶点坐标为（，)，对称轴直线=,二次函数yax2+bx+c(a)的图象具有如下性质:当a时，抛物线=ax2x+（a0)的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大;x=时,y获得最小值,即顶点是抛物线的最低点当时,y随的增大而减小;x=时,y获得最大值,即顶点是抛物线的最高点也考察了旋转的性质.3.与三角形结合:例(广西贺州,第2题12分）二次函数图象的顶点在原点O，通过点A（1,);点F（0,1）在轴上直线1与y轴交于点.(1)求二次函数的解析式；（2)点P是()中图象上的点,过点P作轴的垂线与直线=1交于点M，求证：FM平分O
7、P;(3)当PM是等边三角形时，求P点的坐标考点：二次函数综合题.专项:综合题.分析:(1)根据题意可设函数的解析式为y=a2，将点代入函数解析式,求出a的值,继而可求得二次函数的解析式；(2)过点P作PBy轴于点B，运用勾股定理求出P，表达出P，可得F=PM，FM=PMF，结合平行线的性质，可得出结论；(3)一方面可得MH,设点P的坐标为(x，x2)，根据F=PM=FM,可得有关x的方程，求出x的值即可得出答案.解答：(1)解:二次函数图象的顶点在原点,设二次函数的解析式为y=a2,将点（1,)代入=x2得:a=,二次函数的解析式为y;(2)证明：点P在抛物线y=x2上，可设点的坐标为(,2
8、）,过点P作PBy轴于点,则=x21,PB，RtBPF中，PF=2+1,PM直线y1，Mx21，PF=PM，PFMPMF,又Px轴,MF=PMF,PFH，FM平分OF;(3)解:当FM是等边三角形时,PF=0,FMH=3,在RtMFH中,MF=FH22=4，PF=PMFM，x=，解得：x=2,2=12=3,满足条件的点的坐标为(2,）或（,3)点评:本题考察了二次函数的综合,波及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的核心是纯熟基本知识，数形结合,将所学知识融会贯穿4与四边形结合:例4.(福建泉州,第5题2分）如图，在锐角三角形纸片AB中,ACB,点D,E，F分别
9、在边A，BC，CA上.(1)已知:DEA，DBC.判断：四边形DECF一定是什么形状？裁剪：当C=24cm，BC=20cm,ACB=45时，请你摸索:如何剪四边形DC,能使它的面积最大,并证明你的结论;(2)折叠：请你只用两次折叠,拟定四边形的顶点D，E，C,F，使它正好为菱形,并阐明你的折法和理由.考点:四边形综合题分析:(1)根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据ADFABC推出相应边的相似比,然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S有关h的二次函数体现式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值（2）第一步,沿AC的对角线
10、对折,使C与C重叠，得到三角形BB1,第二步，沿1对折,使DA1BB1解答：.解：(1)EC，DFBC,四边形DEC是平行四边形.作AGBC,交BC于G,交DF于H,ACB=45,AC=24m，A=1，设DF=ECx，平行四边形的高为h，则A=1h,DFBC,=，C=c,即:=,x0，=xh=x=0h2.=,AH=1，A=FC，在AC中点处剪四边形DCF，能使它的面积最大（2)第一步，沿BC的对角线对折，使C与C1重叠,得到三角形B，第二步，沿B1对折,使DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评：本题考察了相似三角形的鉴定及性质、菱形的鉴定、二次函数的最值核心在于根据相似三角形及
11、已知条件求出有关线段的体现式,求出二次函数体现式,即可求出结论.5.新定义题：例5.（ 安徽省，第22题12分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相似,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.（）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知有关x的二次函数1=x24x2m2和y=2+b+,其中的图象通过点A(1,),若y与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的体现式，并求出当3时，y2的最大值.考点:二次函数的性质；二次函数的最值专项：新定义分析:(1)只需任选一种点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表达两个为“同簇二次函数”的函数体现式即可(2）由y1的图象通过点A（1，)可以求出
12、m的值，然后根据y1+2与1为“同簇二次函数”就可以求出函数2的体现式,然后将函数y2的体现式转化为顶点式，在运用二次函数的性质就可以解决问题.解答：解:（）设顶点为(h，k）的二次函数的关系式为y=(xh）k，当=2，h=，=4时,二次函数的关系式为=2（x3)2+42，该二次函数图象的开口向上.当a=，=3,4时,二次函数的关系式为y=3(x3)2+4.3，该二次函数图象的开口向上两个函数y(3）2+4与=3（3)4顶点相似，开口都向上,两个函数y2(x3）2+4与=(x3)2+4是“同簇二次函数”符合规定的两个“同簇二次函数”可觉得：y=2(x）2+与y=3（x3）+4（）y1的图象通过
13、点A(1，),21m1+22+1=1整顿得:m2+1.解得：m=m21y1=2x243=2(1)2+1y1+y2=22x+ax+bx+5（+2)x+（b4）+y1+与y1为“同簇二次函数”,y1+2=（a+2）(x1)2+1=(+)x22（a+2)x+（+)1其中a+20,即2解得:函数y2的体现式为:y2=x210+5y2x0x+5=5(1)函数y2的图象的对称轴为x=15，函数y的图象开口向上当0x1时,函数y2的图象开口向上，y2随的增大而减小.当x=时，2取最大值,最大值为()2=5当x3时,函数y的图象开口向上,y2随的增大而增大当x时，y取最大值,最大值为5（31)2=综上所述:当x时，y2的最大值为20点评:本题考察了求二次函数体现式以及二次函数一般式与顶点式之间互相转化,考察了二次函数的性质（开口
