《数学北师大版高中选修2-3排列组合的常见题型及其解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学北师大版高中选修2-3排列组合的常见题型及其解法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 精选文档排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清 楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制， 因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。一.特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采 取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先 安排的方法。解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右 两端之间
2、的任一位置上，有 同种站法；第步再让其余的5人站在其他5个位 置上，有四种站法，故站法共有：1A； A；| = 480 （种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5个 人中任选两人站在左右两端，有 国种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在 中间4个位置，有 同种，故站法共有：1A； A；一480 （种）二 .相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元 素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进 行排列。例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？_解：把3个女生视为一
3、个元素，与5个男生进行排列，共有 国种，然后女 生内部再进行排列，有 同种，所以排法共有：A； A 432d （种）。三 .相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元 素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有囱种，再往4人之间及两端的5个空位中 让甲、乙、内插入，有 同种，所以排法共有：1A： A； 144。| （种）四 .定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有 同种，|m（m n）|个元素的全排列有 区m种
4、,由于要求m个 元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用， FaTI 即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有 七种排列万法。Am例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有|a5种,其中个位与十位上的数 字一定，所以所求的六位数有:A5 A55人言300 （个）A2五 .分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题， 若没有其他特殊要求，可采取统一 成一排的方法求解。例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐 法共有多少种？解：9个
5、人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一 排来处理，不同的坐标共有 同种。六 .复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题， 可以采用转化思想，从问题的反面 去考虑，先求出无限制条件的方法种数， 然后去掉不符合条件的方法种数。 在应 用此法时要注意做到不重不漏。例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不 同的取法共有（）A. 150 种B. 147 种C. 144 种D. 141 种解：从10个点中任取4个点有蜀种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有 应种；第二类，取任一 条棱上的3个点及该棱对棱的中
6、点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线 构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点 共面，有 3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有： C： 4c64 6 3 1411 （种）。七 .多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类， 分别计 算，最后计算总数。例7.已知直线叵by c 0|中的a, b, c是取自集合 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数解：设倾斜角为口，由口为锐角，得atan-0b,即a, b异号。可编辑（1）若c = 0,a,b各
7、有3种取法，排除2个重复（|3x 3y 0|,|2x 2y 0： y 0|）,故有：3X3 2 = 7 （条）。（2）若|c 0|, a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3X3X4 = 36 （条）从而符合要求的直线共有：7+36 = 43 （条）八 .排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分 派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将 4名教师分为三组（1,1,2）, （2, 1,1) , (1,2,1),共有:C42 c2 C16 （种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有同种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有:C2 c2 C1A 36 （种）。因此共有36种方案九 .隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例9.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少 种不同的分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空,5将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：|C； 126（种）
