《实数的有关概念和性质以及实数的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实数的有关概念和性质以及实数的运算（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实数的概念 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。 实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数 理论的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。 理论上， 任何实数都可以用无限小数的方式表示， 小数点的右 边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近 似成一个有限小数（保留小数点后 n 位， n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能 存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数
2、相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变即： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+（-b）3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n 个实数相乘，有一个因数为 0，积就为 0；若 n 个非 0 的实数相乘，积的符号由负因 数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变即：乘法结合律 ：三个数相乘， 先把
3、前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘， 积不变即：分配律 ： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相 加即： 4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即（3）0除以任何数都等于 0，0 不能做被除数。5、乘方：所表示的意义是 n个 a 相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如 果没有括号， 在同一级运算中要从左到右依次运算， 不同级的运算， 先算高级的运算再算低 级的运算，有
4、括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 实数计算的常见类型及方法一、实数的运算（1） 加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。（2） 减法 a-b=a+（-b）（3）乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零即(4) 除法(5) 乘方(6) 开方如果 x2 a 且 x0，那么 x； 如果 x3=a，那么在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面实数的运算律(1)加法交换律a+b b+a(2)加法结合律(
5、a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交换律abba(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)(5)分配律a(b+c)=ab+ac其中 a、b、c 表示任意实数运用运算律有时可使运算简便 一、加法运算中的方法与技巧例 1 计算：分析：()题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的； (2)题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值进行有理数的混合 计算时 , 小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时， 一定要连同前面的符号一起移动 .实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ；
6、符 号相同的数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相 加得到整数先相加“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加“同形结合法” .二、乘、除运算中的方法与技巧例 2 ：计算：分析：（）这里没有用括号规定运算顺序， 所以我们应先算乘方， 再算除法，最后算除法（ 2） 用括号规定运算顺序， 所以应先算括号内的， 再按顺序进行 另外也可以利用乘法对加法的 分配律去掉括号，然后再按顺序进行点评： 在进行有理数的混合运算时， 一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化； 三要 注意在运算性质时不要出现错误三、幂的运算【例 3】 计算：【小结】 表示 4 个 -2 相乘，负数的偶次
7、方是正数，而 表示 的相反数，结 果为负数，两者意义不同，注意区别 .同理，表示 3 个-2 相乘，表示 的相反数，表示 3 个相乘， 表示 除以 5 的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是分数时，底数要加括号 .四、在混合运算中灵活运用运算律【小结】 此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方 第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加 . 第二种方法是先定符号， 后面注意整体思想 . 第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值 .【小结】 善于观察，寻求解决问题的策略，是至关重要的. 灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快 .【小结
8、】 有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号通常先算括号里面的，如果无括 号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行 . 此题，在将混合运算中的除法转化为乘法后，运用乘法运算律简化计算 . 同时注意多项式除以单项式可用分配律. 单项式除以多项式不可用分配律，必须把除数作为一个整体来进行计算 .五、二次根式的运算，做题时应注意这一点。解答：他的化简过程是错误的， 这是因为： 根据性质： ，应有条件 ，而该同学在 的化简过程中， 显然出现了违背条件的情况， 与 是 没有意义的，因此他的化简过程是错误的。正确的应是：点评：运算性质是运算的基础，要准确全面的把握运算性质，不能断章取义，在复习 是要注这一点，
9、对某一知识的掌握要全面、深刻而不能仅仅局限于了解、知道或模棱两可， 这是总复习中的大忌。拓广：对于题目“化简并求值：甲的解答是：甲、乙人的解答不同乙的解答是：谁的解答是错误的？为什么？解：乙的解答是错误的，因为： ，则，故有：六、开放性问题【例 9】 现有四个有理数 3，4，-6，10 运用有理数的四则混合运算写出三种不同方法 的运算式，使其结果等于 24，运算如下：（ 1 ） （ 2） （ 3） 解：（ 1） 10- （ -6 ） 3 4（ 2） （1046） 3（3） 4 10（ -6 ） 3【小结】 此题具有开放性、探究性，要发散思维，结合有理数的混合运算性质，多角 度寻求解题途径对于任
10、意非零实数 x， y定义的新运算“ ?”： x?y=ax-by ，等号右边是乘法 和减法的运算，已知： 2?3=2， 3?5=2，则 3?4=答案:4解析: 根据题意列出方程组， 求出方程组的解得到 a 与 b 的值，再将所求式子利用新定义变形后计 算即可求出值解：根据题意得：， 3- 2 得： b=2，将 b=2 代入得： 2a-6=2 ，即 a=4，则 3?4=12-8=4 故答案为： 4在实数的原有运算法则 （“?”和“- ”仍为通常的乘法和减法 ）中，我们补充定义新运算 “ 如下：当 时， ；当 时， . 则当 时，函数 的最大值等于 （）A. -1B. 1C. 6D. 12答案:C小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入 x 的值为时，则输出的数值为 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab 时， a b=b2；当 ab时， ab=a则当 x=2时， （1 x） ?x-（3 x）的值为（ “?”和“ -”仍为实数运算中的乘号和减号 ）
