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1、课题：任意角的三角函数（2）一、教学目标(一)知识目标：1.理解单位圆的概念以及有向线段的概念.2.掌握诱导公式一的3.用正弦线、余弦线、正切线的表示任意角的三角函数值.(二)能力目标：1.能够熟练运用单位圆、有向线段来解题.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.3.能够根据诱导公式进行角的转化.(三)情感目标：通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数
2、值三、教学方法（一）讲授法讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.（二）教具准备幻灯片1张：多媒体课件：课本P19图113，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角的终边，标出单位圆与角的终边的交点P(x，），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).四、教学过程 课题导入：前面我们研究了三角函数在各象限内
3、的符号，今天为了大家这节课能够顺利完成一些有关题目，我们首先得掌握一个基础公式。考虑一个问题：如何将任意角的三角函数化成0到360角的三角函数呢？针对这个问题，课本上给了我们一组诱导公式。由三角函数的定义我们知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到（公式一）： sin(+k2)=sin ,cos(+k2)=cos ,tan(+k2)=tan ,其中k.利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2（0360）角的三角函数值.接下来我们就来看几题简单的例题.例：求下列三角函数值：（1） sin 148010；（2）cos ；（3）tan（-）.解：（1）sin 148010=
4、sin（4010+4360）= sin 40100.645；（2） cos =cos（2）=cos=；（3） tan（-）= tan（-2）=tan=.除此之外，我们前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.之前对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法 设计意图：可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，同时把本节课需
5、要的相关知识先进行解释，为下一步的学习做好知识储备。三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。 新概念教学：我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x 轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，则由正弦函数的定义可知，为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).（使用多媒体课件，教
6、师边叙述边作图).在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角的终边或其反向延长线交于点T.显然，线段OM的长度为x，线段MP的长度为，它们都只能取非负值.当角的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将图、图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x
7、0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上图、图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OMx.如果0，把MP看作与轴同向，规定此时MP具有正值；如果0，把MP看作与轴反向，规定此时MP具有负值，所以不论哪一种情况，都有MP(与前面所述相同，谈到MP与轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角的正弦线、余弦线.类似地，我们把OA、AT也看作有
8、向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角的正切线.注意：(1)当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(2)当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同. 正弦线、余弦
9、线、正切线统称为三角函数线.（充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。） 设计意图：1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。2、 单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。3、 单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长
10、度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。4、 结合图形，引导学生弄清以下几点：（1）三角函数线的位置；（2）三角函数线的方向；（3）三角函数线的正负； 例题讲解例题：根据下列三角函数值，求作角a的终边，然后求角的取值集合. (1)sin=; (2)cos=； (3)tan=1 (4)sin.分析：(1)已知角的正弦值，可知MP=，则P点的纵坐标为.所以在y轴上取点(0，)，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角a的取值集合为=2k+,或=2k+,kZ.（2）因为OM=，则在x轴上取点(，0)，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1，P2两点，
11、OP1，OP2是所求角的终边，的取值集合为=2k,kZ.(3)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT=1,连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值集合是=2k+,或=2k+,kZ=k，kZ(4)这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围. 课堂练习：分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：（在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解）设计意图 ：在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为
12、单位共同完成。加深理解三角函数线的有关知识。 课时小结;本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.以提纲形式对本节重点内容再总结。学习单位圆的目的在于利用它解决问题，在教学中，应尽量引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质，这样，不仅有助于加深对于三角函数线的理解，对后续内容的学习也有很大的促进作用。 布置作业;P20-7、10（1）（2）（3）(本次作业只针对三角函数线知识进行巩固，因此，要求学生保质保量认真完成。落实本课时的重点，突破难点，抓落实。）
